Глава 8. УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ И ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Основная модель хранения запасов

В этой главе рассматривается группа задач по принятию решений, встречающихся в весьма различных ситуациях управленческой деятельности, но имеющих общую логикоаналитическую структуру. Наиболее ярким представителем этой группы задач, как с точки зрения практиков, так и с точки зрения исследователей, является, по-видимому, основная проблема политики фирмы—определение уровня запасов в условиях неопределенного спроса.

Мы исследуем структуру этой проблемы, а затем покажем ее связь с другими задачами теории принятия решений.

Проанализируем проблему определения уровня запасов продукта, который можно запасать только в начале определенного отрезка времени. Если уровень запасов недостаточен для удовлетворения спроса, возникающего в указанный период времени, то дополнительные запасы продукта обычно нельзя обеспечить до начала следующего периода. При этом предполагается, что любой уровень запасов, который мы хотели бы иметь в начале периода, можно обеспечить независимо от времени задержки, сроков или объема поставок. Спрос на данный товар в течение некоторого периода мы будем считать случайной переменной. В частности, мы будем предполагать, что возможно получить именно информацию о спросе, т. е. узнать общее количество требуемого потребителем товара, а не только знать «объем продаж», т. е. общее количество удовлетворенных заказов. Типичная ситуация такого рода имеет место при приеме «заказов по почте» (mail order), так как в этом случае обычно имеются «прямые» данные о потребительском спросе, т. е. данные, которые не зависят от поддерживаемого уровня запасов в отличие от «косвенных» данных, даваемых «объемом продаж».

Чтобы еще более упростить задачу, сделаем ряд предположений, которые позволят нам исследовать ее как «одно периодную» задачу, не требующую учета влияния действий, предпринятых в данном периоде, на последующие периоды. Мы будем предполагать, что запасы, оставшиеся в конце периода, бесполезны, скажем, по той причине, что этот товар устаревает или приходит в негодность. Таким образом, оставшийся продукт не может быть использован для удовлетворения будущего спроса. Мы будем также предполагать, что неудовлетворенный спрос не переносится автоматически на будущие периоды времени. Это отражает ситуацию, когда спрос, не удовлетворенный имеющимися запасами, теряется или же удовлетворяется не обычным образом, а ценой дополнительных затрат. Эти и другие сходные предположения приводят к задаче, в которой в случае избытка запасов к концу периода возникают затраты, пропорциональные количеству избыточного товара, а при неудовлетворении спроса — затраты, пропорциональные дефициту товара в течение всего периода.

Анализ «однопериодной» задачи хранения запасов

Для формулирования задачи введем следующие обозначения: — спрос в течение рассматриваемого периода; f(x) — плотность распределения вероятностей случайной величины — уровень запасов (-оптимальный уровень); С, — затраты, вызываемые единицей избыточной продукции к концу периода; — затраты, вызываемые нехваткой единицы продукции; — ожидаемые затраты за период при использовании уровня запасов

Мы строим модель в предположении, что является непрерывной случайной величиной или может разумным образом моделироваться такой величиной. Дискретный случай рассматривается аналогичным образом. Ожидаемые затраты даются формулой

Чтобы найти оптимальный уровень запасов, возьмем производную этой функции по и приравняем ее нулю.

Детали этого процесса можно проследить при решении упражнения 8.1. В результате получаем, что оптимальная величина удовлетворяет следующему соотношению:

или, в более простом виде,

Иными словами, мы ищем такую величину при которой интегральная функция распределения случайной величины спроса равна отношению затрат из-за недостатка запасов к сумме затрат из-за недостатка и избытка запасов. Очевидно, что чем больше затраты из-за недостатка запасов по сравнению с затратами из-за их избытка, тем больше будет оптимальный уровень запасов.

Подсчитаем ожидаемые затраты в случае использования оптимального уровня запасов:

Из условия оптимальности нам известно, что

Используя этот результат, можно представить ожидаемые затраты в виде

Интегралы в этом выражении можно назвать частными ожиданиями (partial expectations), так как они выражают ожидаемую величину случайной переменной только в части области ее изменения.

Если мы добавим предположение о том, что является нормально распределенной случайной величиной, для вычисления можно будет воспользоваться интегралом линейных потерь (см. приложение А).

Положим

где — стандартное отклонение Введя нормированные на единицу интегралы линейных потерь LN, получаем

Выполняя вычисления, мы игнорировали тот факт, что обычно не принимает отрицательных значений. Наш отказ от усечения нормального распределения в нуле основывается на допущении, что влияние оставленного «хвоста» распределения в области отрицательных значений настолько мало, что им вполне можно пренебречь.

Другую полезную формулу для ожидаемых потерь можно получить, используя выражение из приложения А:

Воспользовавшись тем, что

подставим эти два выражения в полученную ранее формулу для что дает

Это выражение можно непосредственно привести к виду

Таким образом, ожидаемые затраты при работе с оптимальным уровнем запасов прямо пропорциональны стандартному отклонению для распределения спроса.

Неопределенность и ценность информации

Добавим теперь предположение о том, что дисперсия распределения спроса известна, а его математическое ожидание является неопределенным. Предположим также, что распределение f(x) является нормальным с математическим ожиданием и дисперсией v. Неопределенность относительно состоит в том, что само является нормально распределенной случайной величиной с априорными параметрами Тогда априорное распределение спроса является нормальным распределением со средним значением и дисперсией, определяемой выражением

Оптимальный уровень запасов, основанный на априорной информации, будет иметь вид

Неопределенность может возникнуть, например, из-за того, что мы рассматриваем новый продукт, относительно спроса на который можно сделать лишь приблизительный прогноз на основе ограниченной информации или опыта. Однако неопределенность может возникнуть и при рассмотрении спроса на давно предлагаемый на рынке продукт, скажем, по причине того, что значительные изменения в рыночной ситуации ограничивают применимость прошлых данных и имеющегося опыта.

Если бы мы могли иметь точную информацию о спросе в данный период, мы положили бы оптимальный уровень запасов равным известному спросу и вообще избежали бы каких-либо затрат из-за недостатка или из-за избытка продукта. Ценность или стоимость такой информации была бы равна ожидаемым затратам при оптимальной политике, основанной на априорной информации, т. е.

Если же мы получаем точную информацию о среднем спросе, то ценность этой информации будет выражаться разностью

между ожидаемыми затратами, основанными на априорной информации, и ожидаемыми затратами оптимальной политики в результате устранения неопределенности относительно :

Экономический анализ в случае неполной информации

Если мы рассматриваем однопериодную задачу, вполне логично предположить, что любая информация о спросе за рассматриваемый период имеет ценность только для данного периода. Однако обычно задача фактически является многопериодной. При этом любая получаемая информация о спросе может оказаться применимой более чем к одному периоду; таким образом, чтобы определить ее ценность, надо принять во внимание, для скольких периодов экономической деятельности можно извлечь из нее пользу. Деятельность в течение одного периода может дать сведения о спросе, которые могут быть использованы для пересмотра мнения о спросе в будущие периоды. Стоит ли регистрировать спрос и делать такой пересмотр, частично зависит от того, сколько будущих периодов предвидится. Вопрос о ценности информации в многопериодном процессе будет рассмотрен в последующих главах. Здесь же мы предполагаем, что любая полученная информация применима только к одному рассматриваемому периоду; ее ценность будет основываться на ее использовании только в этот период времени. Например, из прежних документов может оказаться возможным извлечь некоторые данные, применимые к планируемому периоду. При этом возникает вопрос: «Сколько усилий должно быть затрачено на получение и использование этих исторических данных?» Могут быть проведены определенные исследования рынка, результаты которых оказываются применимыми к рассматриваемой ситуации. Тогда представило бы интерес определить стоимость этих исследований. Тем не менее мы предполагаем, что информация состоит просто

из выборочных данных о спросе, т. е. из некоторой выборки, содержащей наблюдения величины

Если такая информация получена, скажем, в форме среднего значения для выборки, мы можем преобразовать априорное распределение в апостериорное. Это в свою очередь позволяет получить апостериорное распределение спроса и вычислить оптимальный уровень запасов. Для выборки размером апостериорные ожидаемые затраты при оптимальнм уровне запасов имеют вид

Эта величина не зависит ни от конкретного значения наблюдаемого среднего для произведенной выборки, ни от апостериорной средней величины а только от размера выборки. Другими словами, апостериорно ожидаемые затраты, связанные с оптимальной стратегией, будут одинаковыми для всех выборок размера п. Обратите внимание на то, что оптимальный уровень запаса, основанный на апостериорной информации, разумеется, зависит от . Ожидаемые же затраты зависят только от дисперсии распределения спроса. Таким образом, только что вычисленные апостериорные ожидаемые затраты являются также априорной ожидаемой величиной апостериорных ожидаемых затрат,

Короче говоря, ожидаемая ценность информации, содержащейся в выборке, пропорциональна величине, на которую уменьшается стандартное отклонение спроса в результате получения этой информации.

Оптимальный размер выборки

Если ожидаемая ценность информации, которую несет с собой выборка, рассматривается как функция и предполагается, что стоимость выборки пропорциональна то ожидаемый чистый доход от такой выборки выразится в виде

Возьмем первую производную ENGSI по и приравняем ее нулю:

полученное равенство может быть переписано в виде

Хотя эта формула и не особенно удобна для вычисления оптимального размера выборки, она подтверждает некоторые интуитивные предположения о проблеме:

1) когда стоимость единичного наблюдения в выборке, k, возрастает, оптимальный размер выборки уменьшается;

2) когда с, наша мера априорной уверенности руководителя или его априорных знаний, возрастает, оптимальный размер выборки падает;

3) когда затраты и возрастают, оптимальный размер выборки также возрастает;

4) когда априорная дисперсия возрастает, оптимальный размер выборки увеличивается.

Читателю было бы полезно рассмотреть выражение для производной ENGSI и выяснить, какие сходные утверждения могут быть сделаны относительно чувствительности ENGSI по отношению к размеру выборки. Обратите внимание также на то, что стоимость выборки может оказаться настолько большой, что оптимальный размер выборки будет равен нулю.

Обучение и адаптация в многопериодных проблемах

Хотя экономические вопросы обработки информации в многопериодных задачах будут рассмотрены в последующих главах, полезно уже здесь кратко рассмотреть связанные с этим процессы обучения или адаптации. Мы предполагаем, что в конце каждого рассматриваемого периода спрос за этот период становится известным. Далее мы предполагаем, что эта информация может быть использована для предсказания спроса в будущие периоды. В самом простом случае спрос в будущие периоды рассматривается как последовательность одинаково распределенных нормальных

случайных величин. Это означает, что в каждый данный момент принимающий решение имеет одно и то же априорное распределение спроса для всех будущих периодов. В несколько более реальном случае дисперсия априорного распределения увеличивается, когда рассматриваются все более удаленные будущие периоды. Во многих случаях будет экономически выгодно использовать данные о спросе по мере их поступления для пересмотра соответствующих априорных распределений. Если такие пересмотры не производятся, планирование осуществляется так, как если бы выполнялись следующие условия:

1) текущие данные не имеют отношения к будущему спросу;

2) стоимость регистрации текущих данных и пересмотра априорных распределений превышает получаемую экономию;

3) относительно будущего среднего спроса нет неопределенности, следовательно, пересмотра не требуется.

В том случае, когда априорные распределения на буду периоды одинаковы, спрос каждого периода как только он становится известным, ведет к новому априорному среднему

и новой априорной дисперсии

С течением времени изменение априорного среднего значения становится все меньше, а вес, придаваемый каждому новому наблюдению спроса, также падает. Это хорошо, если ситуация характеризуется стационарным средним спросом. Если же средний спрос изменяется в результате изменения рыночных условий, то чем меньше априорная дисперсия, тем меньше описанная политика будет чувствительной к таким изменениям.

Если руководители ожидают изменений в истинной средней величине спроса, они могут несколькими способами устранить отмеченную нечувствительность. Они могут, например, время от времени просто пересматривать значение

априорной дисперсии, когда рыночные условия указывают на возрастание неопределенности в среднем спросе. Несомненно, что это следует делать при любых условиях. Определенные стандартные процедуры такого рода также представляют интерес.

Одной из возможных стратегий является отбрасывание данных о спросе, давность которого превышает с периодов. Априорное среднее тогда будет просто равно среднему спросу за последние с периодов. Новое наблюдение дает

Таким образом, среднее значение для априорного распределения на следующий по отношению к последнему период просто является скользящим (moving) средним за периодов. Следовательно, если мы видоизменим байесовский процесс обучения, приняв, что старые данные больше не имеют значения, мы получим знакомый и широко используемый метод скользящего среднего для адаптивного предсказания событий.

Другой возможный метод основан на допущении о постоянстве дисперсии априорного распределения, в результате чего величина с тоже может считаться постоянной.

В отличие от предыдущего случая старые данные теперь не отбрасываются. Тогда

и вес, придаваемый новым данным, всегда будет один и тот метод является обычным методом экспоненциального сглаживания при пересмотре предсказаний.

Итак, модифицируя байесовский процесс обучения некоторыми простыми, разумными с точки зрения здравого смысла методами, чтобы сделать его более гибким по отношению к возможным изменениям истинной величины спроса, мы сразу получаем два метода предсказания, которые уже широко известны в практике управления.

С байесовской точки зрения более прямым методом поддержания чувствительности к возможным будущим изменениям величины среднего спроса является учет этой возможности путем выбора таких априорных распределений

для будущих периодов, дисперсии которых возрастают со временем. Предположим, например, что мы полагаем априорную дисперсию для текущего периода равной а априорную дисперсию среднего спроса через периодов равной Тогда по прошествии периодов у нас накопится дополнительных наблюдений спроса и его априорная дисперсия уменьшится до Таким образом, при движении системы во времени априорная дисперсия для текущего периода всегда остается одинаковой.

Модификация однопериодной модели

Вернемся теперь к однопериодной модели, чтобы предложить некоторые модификации и обобщения, которые могут представить интерес для приспособления модели к различным ситуациям. Сначала рассмотрим различные возможные структуры затрат.

1. Помимо рассматривавшихся нами затрат из-за нехватки запасов могут быть также затраты, пропорциональные уровню запаса в начальный момент. В этом случае

2. Могут иметь место затраты, зависящие только от самого факта возникновения избытка или недостатка, ноне зависящие от их величины. В этом случае

3. Затраты могут зависеть от квадрата величины избытка или недостатка или быть какой-либо другой функцией этих величин.

4. Мы можем быть заинтересованы в максимизации ожидаемой прибыли, когда затраты на обеспечение каждой единицы запасов равны Си, а доход от одной единицы равен

В этом случае

Исследование проблемы хранения запасов можно также распространить и на случай других источников риска, помимо неопределенности самого спроса. Может оказаться необходимым представить «заказ» на создание запасов несколько ранее начала периода. Время между подачей заказа и доставкой товара может быть неопределенным. Заказ может удовлетворяться по частям, неопределенными количествами и в неопределенные моменты времени. На деле может оказаться, что поддается контролю только средняя скорость поступления изделий. Объем поставок может быть неопределенным либо потому, что некоторые из доставляемых изделий могут оказаться дефектными, либо же просто по той причине, что механизм поставок не точно реагирует на требуемые количества товара.

Рассматривая вопрос с более широкой точки зрения, можно сказать, что фирма может выбирать между различными способами удовлетворения спроса помимо простого создания запаса. Если спрос превышает некоторый «нормальный» уровень производства, фирма может привлечь дополнительную рабочую силу, использовать сверхурочные часы, оказать воздействие на спрос различными стратегиями продаж и сбыта и т. д. Проблема, таким образом, сводится к более общей политике согласования выпуска продукции со спросом.

Некоторые родственные проблемы управления

Принципиальная важность проблемы однопериодного планирования запасов заставляет руководителей принимать одноразовое решение перед лицом неизвестности относительно будущего. Наказание за неподходящие решения зависит от степени несоответствия между выбранным действием и получаемым результатом. Это подразумевает,

что действие и результат могут быть количественно оценены и описаны по какой-то единой шкале. Мы опишем несколько проблем управления, которые связаны по своей структуре с проблемой планирования запасов и поддаются сходному анализу. Многие из этих проблем связаны с проектированием систем требуемой мощности или фиксированием каких-то ресурсов на надлежащем уровне.

1. Кардинальная проблема при проектировании заводов состоит в определении количества машин, которое нужно иметь на заводе или в его отделении в условиях неопределенной производственной загрузки. Если машин слишком много, будут наблюдаться простои; если их слишком мало, возникнет необходимость в сверхурочных работах, привлечении субподрядчиков или в обычно дорогостоящих методах расширения производственных мощностей. Как определить необходимое быстродействие вычислительной машины или мощность генераторов в энергосистеме, сколько нужно иметь автопогрузчиков, какова должна быть численность рабочих и служащих определенной квалификации — все это вопросы сходной природы. Во многих из этих ситуаций, а также и в тех, которые будут упомянуты ниже, нам хотелось бы отказаться от условия, что спрос, не удовлетворенный за один период, исчезает, Наоборот, мы хотим исследовать дополнительные сложности, возникающие, когда такой спрос «перезаказывается» или должен быть удовлетворен в один из будущих периодов.

2. При разработке транспортной системы, которая должна работать по жесткому графику, возникает вопрос, какие мощности или средства обслуживания должны быть предусмотрены для данной станций в условиях неопределенного спроса на транспорт в данном пункте. Слишком большие или слишком малые мощности во многих системах приводят к очевидным отрицательным последствиям.

3. Общая проблема точечных оценок в статистике может быть связана с проблемой планирования запасов. Если нам надо выбрать какую-то единственную оценку для неопределенного параметра, то «наилучшая» оценка не обязательно будет несмещенной. Если мы установим штрафы за различную степень переоценки и недооценки параметра, можно выбрать оценку; которая минимизирует ожидаемый штраф.

4. Многие проблемы задачи о назначениях могут быть сформулированы в аналогичной форме. Предположим, что мы хотим закончить работу А к тому же сроку, что и работу и что у нас есть некоторая свобода выбора времени начала работы А. Допустим также, что мы не уверены в наших знаниях о том, сколько времени займет выполнение работы А и когда будет выполнена работа В. Если можно что-нибудь сказать о затратах в случае, если А будет выполнена раньше В, и о затратах в случае, когда В будет выполнена раньше Л, можно будет принять решение о наилучшем времени начала А.

Чтобы математически сформулировать эту задачу, введем следующие обозначения: — время, необходимое для выполнения работы — плотность распределения вероятностей для величины у — время, необходимое для выполнения работы В; — плотность распределения вероятностей для величины — момент начала работы А. Тогда

Методами, сходными с теми, которые применялись для решения задачи хранения запасов, можно получить выражение

Величина S, которая удовлетворяет этому уравнению, дает время начала работы которое минимизирует ожидаемые затраты.

5. Рассмотрим производственный процесс, продукт которого характеризуется некоторым критическим параметром Параметр может быть длиной, диаметром, весом, плотностью, электропроводностью и т. д. Хотя мы не можем контролировать истинное значение величины мы можем регулировать процесс таким образом, чтобы управлять средней величиной В этом случае проблема состоит

в том, как фиксировать среднюю величину если известны затраты, с которыми связан выход величины за пределы верхней границы допустимых технологических отклонений LU (Upper Limit), и затраты, возникающие, когда падает соответственно ниже нижней границы отклонений LL (Lower Limit). Мы можем рассмотреть эту проблему как задачу отыскания минимизирующего функцию

Рассматриваемая под таким углом зрения, данная задача в некотором смысле противоположна задаче хранения запасов. В случае хранения запасов параметры распределения были фиксированы и требовалось отыскать верхний предел первого интеграла и нижний предел второго. Здесь же фиксированы пределы интегралов и требуется отыскать параметр распределения. Однако, слегка изменив точку зрения, можно сделать обе задачи подобными. Мы можем рассматривать величину как функцию LL, считая постоянным и полагая где k — требуемая ширина технологических допусков. Этим задача приводится к виду, соответствующему задаче хранения запасов, и мы можем найти наилучшую величину LL для каждого конкретного . Для этого надо лишь определить, для какой величины наши исходные границы технологических допусков являются наилучшими.

Многоуровневые системы хранения запасов

До сих пор мы сосредоточивали свое внимание на сборе информации и обучении как основных способах уменьшения неопределенности при выработке решения. Однако имеется группа интересных задач в проектировании систем, в которых центральную роль играет хорошо известный эффект «объединения риска». Здесь сама конструкция системы может оказывать существенное влияние на степень риска, приписываемую ситуации теми, кому надлежит управлять системой. Тот же основной принцип может быть применен всякий раз, когда возникает задача снабжения какими-либо ресурсами большого числа заказчиков при неопределенном спросе с их стороны. При объединении ресурсов

в общий фонд в этих условиях может быть получена экономия, так как объединенный фонд даже небольших размеров может дать такую же гарантию, какая была бы обеспечена, если бы спрос каждого заказчика удовлетворялся из выделяемых для него резервов. Например, работник сферы распределения товаров, который должен иметь резервные запасы в предвидении колебаний спроса в различных розничных конторах сбыта, обнаруживает, что если число розничных контор возрастает, то резервный фонд вовсе не обязательно должен расти в той же пропорции для того, чтобы обеспечить такой же уровень гарантии. Таким образом, его централизованные запасы могут обеспечить ту же гарантию для большого числа складов (через которые идет удовлетворение заказов) при меньших затратах на каждый склад или на каждую проданную единицу товара. Тот же эффект позволяет большим фирмам получить экономию в условиях неопределенного спроса на наличные средства, складируемые ресурсы, производственные мощности, рабочую силу, специализированные услуги в области управления и т. п. Этот эффект частично объясняет и тенденцию к агрегированию неопределенного спроса путем централизации некоторых действий, благодаря созданию объединенных фондов оборудования, централизованных секретариатов, вычислительных центров и т. п.

Основные используемые при этом принципы можно проиллюстрировать на примере двухуровневой системы хранения запасов в частично децентрализованной фирме. Мы предполагаем, что фирма состоит из центрального и нескольких производственных отделений. Спрос на определенный товар возникает в производственных отделениях, и так как этот спрос является неопределенным, возникает проблема, где и в каких количествах должны быть созданы запасы. Сколько запасов нужно хранить в каждом производственном отделении и сколько в центральном фонде?

Легко Еидеть, что эта ситуация является непосредственным обобщением ситуации, рассмотренной ранее в этой главе. Пусть — спрос на товар в отделении в течение некоторого периода хранения; — априорная плотность распределения вероятности со средним значением и стандартным отклонением — суммарный

спрос, с которым имела дело фирма в течение рассматриваемого периода хранения; оптимальный уровень запасов отделения оптимальный уровень запасов центрального отделения.

Допустим, что, как и ранее, имеются затраты на хранение и затраты из-за нехватки товара и что эти затраты одинаковы по всей фирме. Рациональность любой системы хранения запасов должна оцениваться с точки зрения связанных с ней ожидаемых затрат.

Рассмотрим сначала полностью децентрализованную схему управления запасами, в которой центральное отделение не имеет в своем распоряжении резервных запасов и каждое производственное отделение хранит запасы исключительно для покрытия собственных нужд. Например, мы можем предположить высокую стоимость транспортировки грузов, что делает нерациональной перевозку товаров из одного отделения в другое для удовлетворения возникшего там спроса. Каждое отделение выбирает уровень запаса, который удовлетворяет соотношению

и, как мы уже видели, может быть записан в виде

Ожидаемые затраты, связанные с оптимальным уровнем запасов, пропорциональны стандартному отклонению спроса, что мы запишем просто в виде

Для фирмы в целом такая децентрализованная система должна иметь полный запас

Соответственно, суммарные ожидаемые за период затраты фирмы равны

Сравним это с полностью централизованной структурой, при которой все запасы хранятся в центральном отделении,

а в производственных отделениях они отсутствуют. Мы пренебрегаем здесь дополнительными затратами или задержками, связанными с удовлетворением спроса за счет централизованных запасов вместо их удовлетворения из собственных запасов отделений. Накопившийся в центральном отделении общий спрос можно рассматривать как случайную переменную D со средним значением

Решающее значение здесь имеет связь между стандартными отклонениями спроса в производственных отделениях и спроса, поступившего в центральное отделение. Если спросы в отделениях независимы, то дисперсия общего спроса равна сумме дисперсий спросов в отделениях. Таким образом,

Запасы, хранимые в центральном отделении, выражаются величиной

а ожидаемые затраты фирмы за период даются выражением

При нашем предположении о независимости имеем

таким образом, затраты при централизованной схеме будут меньше затрат при децентрализованной схеме. Эта экономия возникает благодаря «объединению» спросов, подверженных случайным колебаниям, и удовлетворению их из одного центрального источника.

Интересно заметить, что если

то количество запасов, хранимых в централизованной системе, будет меньше, чем в децентрализованной. Если, однако, это отношение затрат меньше 0,5, то централизованная

система будет требовать больших запасов, но иметь меньшие средние затраты за период.

Экономию благодаря централизации запасов особенно легко подсчитать в случае, когда предполагается, что все отделения имеют одно и то же стандартное отклонение спроса:

При этих предположениях разница в затратах обеих систем будет равна

Так как то эта разность будет всегда положительной, если имеется больше одного отделения. С увеличением числа отделений N увеличивается и возможная экономия в результате централизации.

Если спросы в отделениях не являются независимыми, как предполагалось выше, а имеют положительную корреляцию, то экономия не будет столь большой. В простейшем случае фирмы с двумя производственными отделениями дисперсия спроса в центральном отделении может быть записана в виде

где коэффициент корреляции между опросами в обоих отделениях. Если коэффициент корреляции положителен, то по мере его возрастания растут также и затраты на необходимые запасы в центре и соответственным образом уменьшается экономия, достигаемая благодаря централизации. Однако, если спросы имеют отрицательную корреляцию, высокий спрос в одном отделении имеет тенденцию компенсироваться низким спросом в другом, и экономия благодаря централизации становится даже больше, чем в случае независимости спросов. Максимальная возможная экономия достигается при полной отрицательной корреляции, т. е. при гл

Выше было сделано важное предположение, что в централизованной системе не возникает дополнительных расходов в результате удовлетворения спроса отделений из централизованных запасов. Предполагалось также, что в децентрализованной системе не происходит передачи запасов

между производственными отделениями. Теперь мы можем модифицировать эти предположения, чтобы выяснить условия, при которых децентрализованное распределение запасов окажется предпочтительнее.

Если имеются дополнительные затраты в виде штрафов за удовлетворение спроса отделений из центральных запасов, возможно возникновение ситуации, когда эти штрафы уничтожают все преимущества от централизации. Предположим, что на каждую единицу спроса, удовлетворяемого из центральных запасов, приходятся затраты на транспортировку и запаздывание. Тогда затраты в централизованной системе будут равны

При увеличении наиболее дешевой может стать децентрализованная схема. Если учитываются затраты и предполагается, что между производственными отделениями разрешены взаимные поставки без каких-либо затрат, то предпочтительной будет децентрализованная схема. Свободные перемещения товаров между отделениями позволяют децентрализованной системе приобрести точно такую же степень «объединения», которая могла быть использована в централизованной системе.

Если предположить одинаковые затраты на транспортировку между любыми двумя производственными отделениями или между любым таким отделением и центральным отделением, можно показать, что более оптимальной будет децентрализованная система. При возрастании расходов на перевозки между отделениями запасы и ожидаемые затраты оптимальной системы могут стать близкими к запасам и затратам рассмотренной ранее децентрализованной системы, в которой транспортировки между отделениями не разрешаются. Снижение стоимости транспортировки между отделениями ведет к снижению суммарных резервных запасов фирмы. Пока имеют место какие-либо транспортировки между отделениями, можно предсказать, что если стандартные отклонения спроса для отделений одинаковы, то при увеличении числа отделений количество запасов на одно отделение будет уменьшаться.

При рассмотрении таких систем важно помнить о связанных с ними проблемах коммуникации и координации.

В полностью централизованной системе, например, центральное отделение, чтобы сформулировать политику фирмы, должно иметь информацию о спросе во всех отделениях. По-видимому, эта информация должна время от времени проверяться. С другой стороны, отделения не могут знать, будет ли конкретный спрос удовлетворен, пока центр не проинформирует их о положении дел. В полностью децентрализованной системе без транспортировки между отделениями достигается полное самообеспечение и отделения могут сформулировать свою собственную политику хранения запасов, не нуждаясь в информации о деятельности других отделений или центра. В полностью децентрализованной системе с транспортировками между отделениями ни одно отделение не может выработать свою собственную политику хранения запаса без знания того, что делают другие отделения. Любое отделение находится в таком положении, как если бы часть его запасов потенциально хранилась в других отделениях; следовательно, оно частично действует как хранитель запасов для других отделений. Запасы в этом случае не могут быть определены оптимальным образом без полной централизации как информации, так и формулирования политики. Только путем полной и точной координации может быть достигнут минимум затрат на хранение запасов.

Упражнения

8.1. Руководитель ежемесячно рассматривает спрос на некоторый товар, который нужно запасти, как нормально распределенную случайную переменную с неопределенным средним значением и стандартным отклонением 20. Его «наилучшая оценка» среднемесячного спроса равна 100, и он полагает, что с вероятностью 50% это среднее больше 90, но меньше 110. Он хочет использовать нормальное распределение, чтобы выразить имеющуюся неопределенность.

Пусть долл., долл. Найдите оптимальный уровень запаса, связанные с этим уровнем затраты, ожидаемую ценность (стоимость) полной информации и выборочной информации при объеме выборки, равном 5.

Через пять месяцев было найдено, что средний спрос за период составлял 120 единиц в месяц. Используя этот опыт как прошлый, найдите оптимальный уровень запасов.

8.2. Предположим, что в однопериодной модели хранения запасов затраты за период выражаются в виде постоянной, умноженной на

квадрат разности между запасами и спросом. Найдите выражение для оптимального размера выборки в этом случае.

8.3. Введя затраты на закупку и доход от продажи, преобразуйте однопериодную модель в модель максимизации прибыли. Найдите выражение для оптимального размера выборки.

8.4. В этой главе предложено несколько методов, позволяющих сделать распределение спроса менее чувствительным к прошлым и более чувствительным к текущим данным. Обсудите, какая работа потребуется для осуществления каждого из этих предложений в конкретной ситуации. Как может быть проверена эффективность этих методов «забывания»?

8.5. Рассмотрите задачу определения мощности нового завода в условиях неопределенности относительно спроса на его продукцию. Предположим, что имеются фиксированные затраты, которые пропорциональны мощности завода, и затраты из-за нехватки, которые зависят от величины, на которую спрос превосходит мощность. Покажите, как может быть сформулирована эта проблема, и найдите выражение для оптимального размера выборки.

8.6. Предположите, что в однопериодной модели хранения запасов некоторые запасенные изделия оказываются дефектными и поэтому не могут быть использованы для удовлетворения спроса. Число дефектных изделий является неопределенным. Покажите, как может быть проанализирован этот дополнительный источник неопределенности. Какие факторы могли бы повлиять на ценность информации о количестве дефектных изделий?

8.7. Какие еще управленческие проблемы можно было бы рассмотреть с помощью формализованных моделей типа описанных в этой главе?

8.8. Диспетчер отправляет партии свежезамешанного бетона со своего завода на стройку и может выбирать время отправления каждой партии. Время транспортировки до строительной площадки является случайной величиной. Момент времени, когда бетон потребуется для работы, тоже рассматривается диспетчером как случайная переменная. Имеются затраты, связанные с прибытием бетона слишком поздно, и затраты, связанные со слишком ранним его прибытием. Предложите, как сформулировать задачу определения времени отправки. Как бы вы приступили к оценке стоимости системы связи, которая могла бы дать диспетчеру лучшую информацию о том, когда бетон понадобится на стройке?

8.9. Какие предположения о потерях из-за ошибки в оценке подразумеваются, когда мы используем несмещенные оценки?

8.10. Обратитесь к обсуждению проблемы «настройки» средней величины в производственном процессе, если продукт должен удовлетворять некоторым техническим условиям. Предположите, что затраты при нарушении обеих границ технологических допусков одинаковы. Получите выражение для оптимального размера выборки в этом случае.

8.11. При обсуждении возможных систем с «забыванием» предлагалась система, в которой величина с должна была поддерживаться постоянной вне зависимости от накопленного опыта. В чем проявится

выбор большего или меньшего с? Начните с конкретных значений с и и предположите, что через три периода у вас будут наблюдения Напишите выражение для через эти величины.

8.12. Обсудите обобщение анализа двухуровневых систем хранения запасов на трехуровневые системы.

8.13. Как скажется нелинейность функции полезности на изложенном в этой главе анализе двухуровневой системы хранения запасов?

8.14. Какие еще стороны деятельности большой фирмы могли бы быть рассмотрены на основе механизма управления запасами, описанного в этой главе?