Глава 4. КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА СТЕПЕНИ ПРЕДПОЧТЕНИЯ

Описание систем предпочтений

Ранее нами был рассмотрен вопрос о количественной оценке мнения руководителя относительно возможных будущих событий. По предположению предпочтения руководителя адекватны в том смысле, что они выражают систему ценностей фирмы. Мы оставим в стороне вопрос о том, в какой степени предпочтения того или иного руководителя отражают интересы акционеров фирмы, его коллег или его начальников. Это трудные и важные вопросы, но для наших целей ими можно пренебречь.

Метод количественной оценки, или шкалирования, предпочтений руководителя сильно напоминает метод, использованный нами для выявления его мнений о возможных событиях. Этот метод предъявляет к руководителю те же требования в отношении его способности тщательно обдумывать свое поведение в некоторых достаточно просто сформулированных задачах принятия решения. Мы начнем обсуждение с рассмотрения примера, на основе которого попытаемся развить теорию для объяснения прошлого поведения руководителя, а затем предложим эту теорию в качестве руководства для логически согласованного поведения в будущем.

Итак, пусть руководитель сталкивается с необходимостью выбора одного из четырех способов действий, которые, как показано в табл. 4.1, приводят к различным выигрышам и проигрышам. Указанные в таблице вероятности следует понимать как оценки мнений руководителя, полученные методами, описанными в гл. 3.

Четвертый способ действий здесь означает «ничего не делать», хотя мы обычно склонны отрицать справедливость общего положения, что «ничегонеделание» в деловой сфере, как правило, приносит нулевой доход. Руководителя просят

Таблица 4.1

проранжировать эти четыре способа действий, исходя из его предпочтений. Предположим, что он может сделать это каким-то осмысленным образом. Пока он делает такую оценку, мы должны попытаться объяснить, какого характера, по нашему мнению, будут его предпочтения. Мы начинаем с весьма простого предположения: «Он выбирает одно из таких действий, которое максимизировало бы его ожидаемый доход». Предположим, что результаты упорядочивания действий по их предпочтительности таковы:

Предположение о том, что он максимизирует ожидаемый доход, конечно, неудовлетворительно, ибо он предпочитает способ действия 3 с ожидаемым доходом 9 000 долл. способу действий 1 с ожидаемым доходом 25000 долл. Он скорее будет «ничего не делать», чем предпримет действие 2, ожидаемый доход которого равен 10 000 долл. Интуитивно можно предположить, что он каким-то образом учитывает большие потери, которые для жизнедеятельности фирмы имеют большее значение, чем на то указывает их денежное выражение. Возможно также, что для фирмы желательны большие доходы, но степень желательности этих доходов растет не пропорционально их денежному выражению.

Мы стремимся найти действенный метод выявления этих субъективных соображений. Поэтому мы сначала укажем, каков будет окончательный результат, а затем попытаемся объяснить, как он получился.

Эквивалентное решение

Изучим теперь решение, на первый взгляд довольно мало связанное с ситуацией, которую рассматривает наш руководитель. Рассмотрим четыре альтернативы:

доход в 100 000 долл. с вероятностью 0,5 и убыток в 50 000 долл. с вероятностью 0,5;

доход в 100 000 долл. с вероятностью 0,4 и убыток в 50 000 долл. с вероятностью 0,6;

доход в 100000 долл. с вероятностью 0,55 и убыток в 50 000 долл. с вероятностью 0,45;

доход в 100 000 долл. с вероятностью 0,48 и убыток в 50 000 долл. с вероятностью 0,52.

В этой ситуации вполне естественно предпочесть то действие, при котором можно с наибольшей вероятностью получить доход в 100 000 долл. Едва ли кто-либо будет оспаривать разумность такого выбора. В гл. 3 мы уже предполагали, что разумный и придерживающийся в своих рассуждениях логической последовательности руководитель сделал бы именно такой выбор. Таким образом, мы могли бы в качестве показателя, или меры, предпочтений в этой ситуации использовать вероятность получения дохода в 100000 долл., имея большие основания надеяться, что на ее основе удастся объяснить предпочтения руководителя. Менее очевидна связь этого решения с исходной ситуацией. Ясно, что а 1 есть просто переформулировка Если, однако, принимающий решение захочет придерживаться какого-либо критерия логической последовательности (согласованности) в своем поведении, то можно показать, что ему будет безразлично, выбрать ли или или или Следовательно, оба решения будут для него «эквивалентны», и поэтому наш простой метод объяснения предпочтений во втором решении может быть использован также и для понимания первого решения. Это не совсем очевидно, поэтому мы должны посмотреть, как это происходит.

Базисный контракт

Выберем, как и в гл. 3, базисную задачу принятия решения в качестве модели для количественной оценки (шкалирования) предпочтений. Эта базисная задача содержит две альтернативы, одну из которых мы будем называть базисным контрактом (reference contract), а другую — гарантированным денежным доходом. Получение последнего не связано с риском или неопределенностью. Базисный контракт формулируется следующим образом:

доход в 100 000 долл. с вероятностью

убыток в 50 000 долл. с вероятностью Формально нет разницы в том, каковы обе суммы денег, хотя удобно за одну сумму выбрать наибольшую, а за другую — наименьшую из возможных в данной задаче. Психологически, однако, мы должны избегать денежных сумм, которые слишком велики или слишком малы по сравнению с привычными для руководителя и имеющими для него реальный смысл. Спросим теперь руководителя, каков будет его выбор между следующими альтернативами:

базисный контракт, в котором вероятность принимает некоторое установленное значение; верный доход (или убыток) в долл. Предположим, что он может осмысленно ответить на этот вопрос и что мы можем для любого значения найти такое значение при котором для него становится безразличным выбор между обеими альтернативами. Используя те же суммы денег, что и в исходном решении, мы находим, какое именно значение для каждой из них даст нам «эквивалентный» базисный контракт. Например, руководителю может быть безразличен выбор между базисным контрактом с и получением гарантированного дохода в 15 000 долл. Он может считать исходный контракт при столь же желательным, как и гарантированное получение нулевого дохода. Пусть результаты такого шкалирования будут следующими:

Правило подстановки

Введем теперь аксиому, которая в какой-то степени определит смысл понятия согласованности, или логической последовательности (consistency), в нашей теории согласованного решения. Так как руководитель выразил безразличие при выборе между нулевым доходом наверняка и базисным контрактом с то мы предположим, что он также проявит безразличие при выборе между и новой альтернативой, образованной путем замены нулевого выигрыша, даваемого на базисный контракт с Эту новую альтернативу мы уже обозначили как

Возьмем исходную задачу принятия решения и применим принцип подстановки безразличных базисных контрактов к каждому элементу матрицы. Это даст нам четыре новых действия, но они будут эквивалентны, или безразличны, по отношению к четырем первоначальным действиям. Символом Б К мы будем обозначать базисный контракт (табл. 4.2). В этой преобразованной матрице возможны только два исхода: доход в 100000 долл. и убыток в 50 000 долл. Если выбрать в преобразованной матрице, то, скажем, вероятность получения 100 000 долл. равна

Таблица 4.2

Аналогичные вычисления дают:

(В случае мы округлили вероятность.)

Присмотримся к этому способу несколько внимательнее. Альтернативы в преобразованной матрице представляют собой не что иное, как Таким образом, мы можем утверждать, что если руководитель хочет быть логически последовательным с точки зрения принципа подстановки, он должен при принятии решения в ситуации, содержащей эти преобразованные действия, вести себя точно так же, как он вел бы себя в первоначальной ситуации. Так как преобразованное решение просто предлагает базисный контракт с различными значениями , мы можем утверждать что

а) для любого способа действий может быть подобран эквивалентный контракт;

б) так как выбор между базисными контрактами основан на максимизации значения р. этот принцип может быть распространен на любую альтернативу.

При этих условиях наша теория выбора приобретает следующую форму:

Последовательно поступающий руководитель производит выбор такого действия, которое максимизирует вероятность наибольшего результата в эквивалентных базисных контрактах.

Величина становится, таким образом, указателем предпочтения, или мерой ценности. Заметим, что она помогла нам объяснить поведение руководителя в примере, с которого мы начали, так как там вероятность наибольшая.

Полезность

Величину в эквивалентных базисных контрактах, которая теперь служит нам количественной мерой предпочтений принимающего решения руководителя, обычно называют

полезностью (utility). Мы примем это условное наименование, но будем всегда помнить, что «полезность» — это не более чем вероятность в эквивалентном базисном контракте. Вводя количественную меру предпочтений человека по отношению к деньгам, целесообразно для представления полезности долл. принять какую-то «гладкую», или «хорошо ведущую себя», функцию Определив полезности для некоторых значений мы сможем «подогнать» к ним некоторую гладкую кривую, что позволит нам получить «функцию полезности» принимающего решения человека. Если нет особых причин вводить в искомую функцию специфические «особенности» или «изломы», принимающий решение вполне может считать подобную гладкую кривую выражением своих предпочтений. Если мы интересуемся его предпочтениями по отношению к какому-либо множеству исходов, имеющему определенную структуру, мы сможем использовать характер этой структуры, чтобы определить функцию полезности на основе какого-то разумного числа наблюдений.

Ожидаемая полезность

Функция полезности указывает полезности для определенных гарантированных сумм денег, но на самом деле мы заинтересованы в установлении полезностей определенных действий, которые выражаются в виде некоторых вероятностных распределений. Другими словами, нам необходим практический способ сведения любого сложного действия к его эквивалентному базисному контракту. Напомним, что при вычислении значения в базисном контракте, эквивалентном мы написали

Поскольку мы вероятность назвали полезностью, это равенство можно переписать так:

Следовательно, вычисляя полезность альтернативы мы просто вычислили ее ожидаемую полезность. Это является особенно ценным свойством данного метода шкалирования

предпочтений: полезность любого сложного действия можно получить непосредственным вычислением его ожидаемой полезности. Наша теория утверждает, что при любом действии, сколь бы сложным оно ни было, последовательно мыслящий руководитель сделает выбор, позволяющий максимизировать ожидаемую полезность. (Читатель сможет, если пожелает, сам убедиться, что полезности других действий в нашем примере могут быть получены таким же образом.)

Теперь мы имеем полную теорию внутренне согласованного процесса принятия решения, которая указывает, как построить шкалу мнений о будущих событиях шкалу предпочтений человека относительно исходов этих событий и как сочетать эти мнения и предпочтения для выбора тех или иных действий.

Выбор базисного контракта

При выборе базисного контракта наименьшая рассматриваемая сумма денег определяет нулевую точку шкалы полезности, а наибольшая — единицу измерения. С логической точки зрения этот выбор совершенно произволен. Полезности, измеряемые по одной шкале, могут быть преобразованы в полезности по любой другой шкале простым добавлением положительной или отрицательной константы, умножением на положительную константу или сочетанием этих двух операций. Таким образом, можно сказать, что все шкалы полезности определяются с точностью до положительного линейного преобразования. Наш способ шкалирования не позполяет утверждать, что если то вдвое желательнее (или «полезнее») у. Мы могли бы изменить это отношение, изменив базисный контракт или шкалу, используемую для приписывания полезностей. Хотя формально у нас и имеется значительная свобода выбора базисного контракта, мы снова должны подчеркнуть необходимость выбора такого базисного контракта, который допускал бы психологически осмысленные ответы. Гак, по всей видимости, неразумно было бы использовать в базисном контракте миллиарды долларов там, где ситуации принятия решения подразумевают лишь сотни и тысячи долларов.

Вид функции полезности

Функция полезности, имеющаяся у руководителя в нашем примере, будучи нанесена на график, возрастает с постепенно уменьшающейся скоростью. Можно сказать, что она показывает уменьшающуюся предельную полезность денег; иными словами, «ценность» каждого дополнительного доллара уменьшается по мере того, как растет вся сумма. Этот человек, как мы видели, оценил предложенные ему рискованные возможности ниже их ожидаемой денежной ценности. Хотя способ действий имел ожидаемый доход 25000 долл., он не захотел платить 25 000 долл. за возможность участвовать в нем. Он оказался консервативным, или не склонным к риску. Мы можем предсказать, что такой человек будет приобретать различные виды страховых гарантий против крупного риска и будет вести политику диверсификации (рассредоточения капитала по разным вложениям), чтобы уменьшить риск или непостоянство своих доходов.

С другой стороны, мы можем встретить и человека, чья функция полезности по отношению к деньгам возрастает со все растущей скоростью. Его предельная полезность тоже будет возрастать, и его поведение будет заметно контрастировать с поведением предыдущего руководителя. Он будет жадным искателем рискованных возможностей. Он может захотеть платить даже больше чем 25000 долл. за возможность участвовать в не будет страховать себя от крупного риска и будет избегать диверсификации, стремясь, наоборот, «складывать все яйца в одну корзину».

Между этими крайними типами деловых людей находится человек, чья функция полезности по отношению к деньгам будет линейной и чье поведение будет согласованным в смысле максимизации ожидаемого дохода. Имея дело с таким человеком, мы могли бы на практике обойтись без знания полезности, а использовать прямо денежные значения.

Аппроксимация функции полезности

Легко видеть, что в крупной фирме принимается много таких решений, для которых наибольший возможный доход и наибольший возможный убыток относительно невелики

по сравнению с собственным капиталом или годовым бюджетом фирмы. Таким образом, каждое из этих более мелких решений затрагивает лишь малую область функции полезности фирмы. Зачастую оказывается возможным в такой малой области считать эту функцию линейной и проанализировать решения с точки зрения ожидаемых доходов и убытков, оставаясь при этом в области согласующихся между собой (с точки зрения лица, принимающего решения) суждений. В этом основная причина того, что принятие многих решений, приводящих к не очень важным следствиям, оставляется на усмотрение более низких уровней руководства, в то время как решения, связанные с крупными денежными суммами, должны оставаться в руках высшего руководства, которое в подобных случаях, вероятно, предпочтет сохранить за собою контроль за степенью расположенности к рискованным действиям.

Таким образом, в любой задаче принятия решения мы можем приблизительно оценить, можно ли при выборе логически согласованного поведения руководствоваться принципом максимизации дохода или следует вывести функцию полезности руководителя. Если руководителю безразличен выбор между лотереей с двумя исходами — получением наибольшей и наименьшей возможной в данной ситуации суммы денег — и гарантированным доходом, равным ожидаемому значению выигрыша в такой лотерее, то нет необходимости опеределять значения полезности. Если же руководитель оценивает лотерею как более (или менее) желательную, чем ожидаемый денежный доход, то для выработки последовательных и непротиворечивых рекомендаций по выбору оптимального решения необходимо иметь функцию полезности.

Упражнения

4.1. Изобразите на графике вашу функцию полезности в области денежных значений, которые встречались вам на практике при принятии решений.

4.2. Придумайте и выполните эксперимент по определению функции полезности какого-нибудь человека, не знакомого с теорией полезности.

4.3. Эта и три последующие задачи относятся к человеку, функция полезности которого представлена следующей таблицей:

Пусть этому руководителю предоставлен выбор между получением гарантированных 100 000 долл. и контрактом, предполагающим получение дохода в 150 000 долл. с вероятностью и возможные убытки в 50 000 долл. с вероятностью . Пусть он сообщает, что ему безразличен выбор между этими альтернативами. Какую полезность вы приписали бы 150 000 долл.?

(Ответ: )

4.4. Постройте график функции полезности, заданной приведенной выше таблицей. Покажите, что рискованный контракт, обещающий долл. с вероятностью долл. с вероятностью , может быть представлен точкой с координатами

и что эта точка лежит на прямой, соединяющей точки с координатами

Покажите на том же графике точки, которые представляют два рискованных контракта, имеющих равные ожидаемые доходы, но различные дисперсии дохода.

4.5. Руководителю, функция полезности которого приведена в таблице упражнения 4.3, предоставлено право выбора между двумя альтернативами:

рискованный контракт, сулящий доход 70 000 долл. с вероятностью 0,6 и убыток 40 000 с вероятностью возможность заключить сразу два контракта с независимыми исходами. Каждый контракт обещает дать доход 35 000 долл. с вероятностью 0,6 и убыток 20 000 долл. с вероятностью 0,4. Показать, что, несмотря на то что ожидаемые доходы в обоих случаях одинаковы, этот руководитель предпочтет альтернативу Показать, что имеет меньшую дисперсию дохода.

4.6. Упомянутый выше руководитель рассматривает две реальные возможности: одна сулит доход 100 000 долл. с вероятностью 0,45 и

убыток 50 000 долл. с вероятностью 0,55; вторая связана с участием в той же ситуации другого партнера, с которым поровну делятся доход и убыток. Показать, что руководитель скорее предпочтет вообще воздержаться от участия в операциях, чем воспользоваться первой возможностью, но будет согласен принять вторую при условии равноправного партнерства.

4.7. Повторить упражнение 4.4. при использовании линейной функции полезности и функции полезности, возрастающей с растущей скоростью.