9. Два подхода к вопросу оптимизации систем с переменными параметрами

Конечной целью оптимизации систем с переменными параметрами является либо максимизация средней скорости передачи при ограниченном сверху среднем суммарном риске , либо минимизация при ограниченном снизу значении . При этом возможны по крайней мере два разных подхода к решению задач такого рода. Первый из них сводится к выбору единственного множества и отысканию одной совокупности процедуры кодирования, демодуляции и декодирования, при которых достигается экстремум одной из безусловных характеристик системы при ограниченном значении другой:

(III.9.1)

при условии

(III.9.2)

либо

(III.9.3)

при условии

(III.9.4)

где по-прежнему и — некоторые константы.

Решение этих задач во многом предопределяется видом распределения вероятностей состояния канала. Поэтому фиксированная совокупность процедур, оптимальных для одной системы, может оказаться далеко не наилучшей для других систем. Отмеченные обстоятельства снижают ценность рассматриваемого подхода и усложняют поиск строгих-решений.

Второй подход отличается от первого тем, что здесь для каждого состояния канала выбирается множество и определяется своя совокупность процедур кодирования, демодуляции, декодирования, которые обеспечивают экстремум некоторой функции от условных характеристик системы при ограниченном значении другой функции от тех же характеристик. Например, максимум условной скорости передачи при ограниченном сверху условном суммарном риске

(III.9.5)

при условии

(III.9.6)

либо максимум условной скорости передачи при ограниченном сверху значении произведения условной скорости передачи и условного суммарного риска

(III.9.7)

при условии

(III.9.8)

Каждая из таких совокупностей процедур решает задачу оптимизации системы лишь в определенных состояниях канала.

Поэтому для рационального их использования необходимо уметь фиксировать состояние канала за достаточно короткое время и иметь возможность осуществить своевременный переход от одной совокупности наивыгоднейших процедур к другой. Задача синтеза таких адаптивных систем весьма привлекательна хотя бы уже потому, что она в принципе не ограничена статистическими особенностями конкретного канала и может привести к существенному улучшению основных характеристик системы.

Поясним сказанное. Допустим, что в системе за время сеанса связи параметры (канала случайно и медленно меняются в широких пределах (коэффициент затухания принимает значение из интервала 0—1 с вероятностью ). Требуется выбрать процедуры кодирования и декодирования так, чтобы средняя скорость передачи была максимальной, а средняя вероятность неправильного опознания сообщений не превосходила заданной величины .

При некоторых фиксированных в каждом состоянии канала процедурах кодирования, демодуляции и декодирования, а также при данном множестве скорость передачи

(III.9.9)

а вероятность неправильного опознания сообщений

(III.9.10)

Заметим, что средняя скорость передачи рассчитывается по формуле

(III.9.11)

Среднее время пребывания канала в состоянии равно а среднее число сообщений, принятых за это время, определяется соотношением:

(III.9.12)

где Т — длительность элементарных сигналов.

Следует особо подчеркнуть, что среди сообщений число неправильно опознанных сообщений совпадает (в среднем) с числом

(III.9.13)

Учитывая сказанное, легко вычислить среднюю вероятность неправильного опознания сообщения за время сеанса сзязи как отношение среднего числа неправильно опознанных сообщений к среднему числу принятых сообщений:

(III.9.14)

Припервом подходе к задаче оптимизации рассматриваемой системы требуется выбрать единственную процедуру кодирования, единственную процедуру декодирования и единственное множество так, чтобы средняя скорость передачи (III.9.11) была максимальна и

(III.9.15)

Заметим, что в этом случае величины и являются функциями .

При втором подходе необходимо для каждого из возможных состояний канала выбрать множество и определить свои процедуры кодирования, демодуляции и декодирования так, чтобы скорость передачи (III.9.12) была максимальна, а величина

(III.9.16)

При этом неравенство (III.9.15) будет инвариантно относительно вида распределения .

Можно ожидать, что в ряде систем (в частности систем с переспросом) требование (III.9.16) окажется слишком «жестким» или вообще невыполнимым для относительно плохих состояний канала. В этом случае целесообразно определить процедуры кодирования и декодирования для каждого состояния канала так, чтобы вместо (III.9.16) имело место условие

(III.9.17)

что всегда обеспечивает выполнение неравенства (III.9.15).

Средняя скорость передачи обычно сравнима с единицей, тогда как . Поэтому задачу оптимизации системы можно решать, основываясь на требовании

(III.9.18)

где — некоторая константа, меньшая .

Если условия (III.9.18) имеют место для всех состояний канала, то средняя вероятность неправильного опознания сообщения (III.9.14) несущественно зависит от вида распределения , причем

(III.9.19)

В связи со сказанным становится очевидным, что неравенство (III.9.18) можно широко иепользовать в качестве одного из основных условий оптимальности как адаптивных, так и неадаптивных систем связи с переменными параметрами.