4. Метод решения системы уравнений

В соответствии с определением линейного кода любая его комбинация является правой частью избыточной системы линейных уравнений, содержащей независимых переменных. Следует подчеркнуть, что только на передающем конце она всегда может считаться совместной и определенной, так как на приемном конце мы имеем систему уравнений:

(VII.4.1)

где в правой части значения некоторых свободных членов, возможно, отличаются от тех, которые они должны были бы иметь (в принятой комбинации часть символов искажена).

При таком подходе задачу оптимального декодирования можно интерпретировать как задачу поиска независимых переменных, определяющих кодовую комбинацию, «наиболее близкую» к принятой. Для симметричных каналов без памяти такая совокупность информационных символов обращает в тождество максимальное число уравнений системы (VII.4.1).

Процесс декодирования в этом случае организуется так. В системе (VII.4.1) фиксируется подсистем, содержащих по линейно независимых уравнений. Затем каждая из них решается, и на основе полученных таким образом информационных символов воспроизводятся кодовые комбинации . Синтезированные комбинации попозиционно сопоставляются с в результате чего находятся , величин (VII.3.4), наибольшая из которых и определяет переданную комбинацию.

В случае кода (VII.2.25) на приемном конце мы имеем систему уравнений

(VII.4.2)

Здесь и значение можно полагать равным 2. Три первые и три последние подсистемы в (VII.4.2) линейно независимы, поэтому кодовые комбинации и могут быть синтезированы на основе информационных символов, определяемых следующим образом:

(VII.4.3)

и

(VII.4.4)

Заметим, что декодирующее устройство может быть упрощено, если опознавать переданную комбинацию путем последовательного сравнения значений с фиксированной величиной К и принимать решение как только окажется, что

В качестве первого приближения к оптимальному значению порога К здесь может быть принята величина определенная из соответствующих формул предыдущего параграфа.

Для реализации метода решения системы уравнений при приеме с двумя градациями верности также могут быть использованы результаты предыдущего параграфа. Для убыстрения процесса декодирования задачу опознания переданной комбинации следует начинать с комбинации , синтезированной на основе информационных символов, найденных из решения подсистемы уравнений, в правой части которой содержится минимальное число ненадежных символов.

Метод решения системы уравнений иногда эффективно сочетается с методом контрольных чисел. В этом случае необходимо выделить в системе уравнений (VII.4.1) таких линейно независимых подсистем, в которых отсутствие ошибок характеризовалось бы набором контрольных чисел, наделенных каким-либо особым структурным признаком, например числом отличных от нуля элементов.