3. Безызбыточные коды и системы с посимвольным переспросом

В системах с посимвольным переспросом (рис. (XIII.10) каждый символ комбинации передается до тех пор, пока не будет получено подтверждение о том, что он не стерт. Здесь средняя вероятность неправильного декодирования комбинации определяется выражением (XIII.2.7), а скорость передачи рассчитывается по формуле

(XIII.3.1)

рис. XIII.10. Блок-схема оконечного устройства системы с посимвольным переспросом и симметричным интервалом стирания.

Доказательство обоих положений не вызывает трудностей, если учесть, что среднее число переспросов для

каждого символа равно , а средняя вероятность неправильного его декодирования . (Здесь, как и ранее, предполагается, что обратный канал является идеальным, а время, затрачиваемое на передачу и прием сигналов переспроса, пренебрежимо мало. При невыполнении этих условий характеристики системы с посимвольным переспросом резко ухудшаются).

Примечательны два обстоятельства. Во-первых, в отличие от предыдущего случая скорость передачи в явном виде не зависит от значности кода , но оказывается однозначно связана с через вероятность XIII.2.7 [чем меньше при фиксированном меньше (XIII.3.1); аналогичная ситуация имеет место и в случае, когда растет, а значение фиксировано].

Во-вторых, скорость передачи (XIII.3.1) практически совпадает с пропускной способностью прямого канала

(XIII.3.2)

Это утверждение остается справедливым и тогда, когда средняя вероятность неправильного декодирования комбинации за счет . Сказанное конечно, не означает, что системы с посимвольным переспросом и симметричным интервалом стирания позволяют решать задачу К. Шеннона.

Рис. XIII.11. Блок-схема оконечного устройства системы с переспросом, аналоговым накопителем и фиксированным интервалом стирания.

Дело в том, что пропускная способность ДССтК является функцией ширины интервала стирания и достигает максимума лишь при определенном значении . В последней ситуации вероятность оказывается конечной и монотонно стремится к единице по мере роста .

На рис. XIII.9 для безызбыточных кодов с ;14 пунктирной линией показаны максимальные значения скорости передачи в различных состояниях канала. Расчет кривых проводился для случая по формулам (XIII.3.1) и (XIII.2.7) с привлечением графиков на рис.XIII.3.,XIII.4.

На рис. XIII.11 показана блок-схема оконечного устройства системы с посимвольным переспросом и аналоговым накопителем. Здесь решение на -ом шаге декодирования принимается в результате сравнения с фиксированными величинами и суммы случайных величин которые были получены на выходе приемника после посылки сигналов переспроса с номерами от первого до .

Причем, если

(XIII.3.3)

то посулается сигнал переспроса. Если же

(XIII.3.4)

или

(XIII.3.5)

то считается, что передается символ 0 или 1 соответственно.

Любопытно отметить, что рассмотренный алгоритм декодирования можно трактовать как рандомизированный алгоритм опознания символа с экстраполяцией граничных значений интервала стирания.

Действительно, вычитая из правой и левой части каждого неравенства (XIII.3.3)-(XIII.3.5) величину , получим формальные соотношения, характерные для опознания символа , по единственной случайной величине , полученной после посылки сигнала переспроса с номером .

Выражения для расчета средней вердятности ошибочного декодирования символа и скорости передачи в рассматриваемом случае оказываются весьма громоздкими. Поэтому они здесь не приводятся.

На рис.XIII.2 показана блок-схема оконечного устройства системы с посимвольным переспросом, симметричным интервалом стирания и дискретным накопителем (счетчиком). Случайные величины, образующиеся на выходе приемника, здесь одновременно обрабатываются двояким образом. Во-первых, в соответствии с процедурой, определенной для ДССтК, и, во-вторых, так как это принято в ДСК (оконечное устройство содержит как двухпороговый, так и однопороговый селектор).

Счетчик играет роль дискретного накопителя. В нем подсчитывается число нулей и единиц , образовавшихся на выходе порогового селектора к -му шагу процесса декодирования.

Рис.XIII.12. Блок-схема оконечного устройства системы с посимвольным переспросом, симметричным интервалом стирания и дискретным накопителем.

Решение о том, что передается символ , условимся принимать в двух случаях. Во-первых, сразу же, как только на выходе двухпорогового селектора будет зафиксирован символ . Во-вторых тогда, когда первое событие не осуществилось раз подряд, но число символов вида , зарегистрированных в счетчике к этому моменту времени, оказалось больше числа символов другого вида на величину .

В остальных возможных ситуациях всегда посылается сигнал переспроса. Для того чтобы в первом случае апостериорная вероятность принять неправильное решение была не более заданной величины , достаточно выбрать ширину интервала стирания не меньше, чем получаемую из решения уравнения

(XIII.3.6)

Выясним далее, каким условиям должно удовлетворять число для того, чтобы апостериорная вероятность неправильного решения на шаге декодирования была не больше заданной, т. е. было выполнено условие

(XIII.3.7)

Здесь — число символов вида , зарегистрированное в счетчике к -му шагу процесса декодирования; — вероятность того, что при передаче символа а будет послан сигнал переспроса и одновременно на выходе порогового селектора будет зарегистрирован символ , а — вероятность того, что будет послан сигнал переспроса и зарегистрирован символ :

(XIII.3.8)

Делая несложные преобразования, из (XIII.3.7) получим

(XIII.3.9)

Заметим, что это условие может иметь место только при

(XIII.3.10)

где .

Итак, решение о том, что передается символ , должно приниматься сразу же, как только окажется, что либо случайная величина находится вне интервала , либо будет выполнено условие (XIII.3.9). На шаге декодирования эти два условия могут осуществляться одновременно, при этом они никогда не будут противоречивыми.

При выборе оптимальной ширины интервала стирания, например с точки зрения максимума , следует иметь и виду, что вероятность реализации, на выходе двухпорогового селектора символа будет тем больше, чем ближе значение к величине , тогда как вероятность выполнения условия (XIII.3.7) будет тем больше, чем больше ширина интервала стирания .

Действительно, при фиксированном значение будет тем меньше, чем больше отношение . Последнее, в свою очередь, увеличивается по мере роста и при достигает максимума, равного . Более того, с увеличением ширины интервала стирания возрастает вероятность , и, следовательно, вероятность выполнения условия (XIII.3.7) на шаге декодирования также возрастает.

Вычислим вероятность выполнения условия (XIII.3.7) через минимальное число шагов процесса опознания символа, т. е. вероятность того, что при передаче символа а в счетчике раз подряд будет зафиксирован один и тот же символ , причем первых из них были получены при условии, что посылался сигнал переспроса

(XIII.3.11)

Вероятность того, что в схеме на рис. XIII.10 процесс декодирования закончится точно через шагов, равна

(XIII.3.12)

Результат сравнения (XIII.3.11) с (XIII.3.12) в какой-то мере может служить критерием целесообразности перехода от схемы на рис. XIII.10 к схеме на рис.XIII.12.

Характерной особенностью всех рассмотренных систем с посимвольным переспросом является то, что в них используется одна и та же процедура декодирования для всех символов кодовой комбинации. Это позволяет снизить до нужного значения среднюю вероятность ошибочного опознания символа, но вид матрицы трансформации сообщений (комбинаций безызбыточного кода) при этом оказывается таким же, как в ДСК,

(XIII.3.13)

Однако иногда для достижения тех или иных конечных эффектов оказывается целесообразным не только уменьшить среднюю вероятность трансформации символов, но и одновременно изменить вид матрицы . Такая ситуация возникает, например, в системах, где символы кодовой комбинации несут не одинаковую «смысловую нагрузку».

Для решения таких задач с успехом можно использовать метод посимвольного переспроса, отличающийся от рассмотренного тем, что для опознания каждого символа кодовой комбинации задается свой критический уровень апостериорной вероятности неправильного декодирования. В простейшем случае это означает, что перед приемом первого символа комбинации ширина интервала стирания выбирается равной , и остается постоянной до тех пор, пока он не будет опознан.

Для приема второго символа комбинации устанавливается неизменный интервал стирания шириной и т. д. Задача выбора оптимальной ширины интервала стирания здесь оказывается далеко не тривиальной и сводится, например, к максимизации скорости передачи

(XIII.3.14)

при ограниченном сверху значении среднего риска

(XIII.3.15)

где — заданная константа; — потери, возникающие в системе при неправильном опознании -го символа кодовой комбинации; и — вероятность трансформации и стирания -го символа.

В заключение отметим, что улучшение характеристик систем с посимвольным переспросом связано с разработкой вопросов оптимальной экстраполяции как величины порога в пороговом селекторе (счетчике), так и ширины интервала стирания на каждом шаге процесса опознания символа.

Для решения этих задач можно использовать методы и соотношения, приведенные в § 6 гл. V, а также результаты известных работ по последовательному анализу [3].