4. Условия инвариантности декодирования по критерию отношения правдоподобия с заданным критическим уровнем

Рассматриваемые здесь вопросы по своему существу аналогичны тем, которые были исследованы в § 7 гл. IV: требуется определить множество пар матриц и , таких, для которых разбиение множества на 1 подмножеств, проведенное на основе критерия отношения правдоподобия с некоторым заданным критическим уровнем, например (V.3.3), окажется таким же, как и в случае применения для этой цели алгоритма (V.2.4)-(V.4.5) и, в частности, алгоритма (V.2.5)-(V.2.6).

При декодировании по критерию отношения правдоподобия с критическим уровнем каждое подмножество содержит все сигналы для которых элементы столбца матрицы (IV.7.4) удовлетворяют одновременно условиям

(V.4.1)

и

(V.4.2)

где — величина фиксированного -го порядка малости, ближайшая меньшая к значению . В свою очередь, подмножество будет содержать все сигналы , для которых в столбце (IV.7.4) помимо величины

(V.4.3)

найдется еще хотя бы одна такая, что

(V.4.4)

где , — величина -го порядка малости, ближайшая большая (или равная) к значению .

Для заданных матриц и указанное разбиение множества окажется оптимальным, если одновременно будут выполнены три неравенства:

(V.4.5)

(V.4.6)

(V.4.7)

Запись и означает, что для сигналов и справедливы соотношения (V.4.1)-(V.4.4).

Первое неравенство (V.4.5) задает требования, исключающие перераспределение сигналов между подмножествами и , а два последних неравенства определяют условия, при которых исключается необходимость перераспределения сигналов между подмножествами и

Неравенство (V.4.5) проанализировано в § 7 гл. IV. Полученные там соотношения будут справедливы и для рассматриваемого здесь случая после замены в них на на и на

Преобразуя неравенство (V.4.6), получим

(V.4.8)

Учитывая (V.4.2)-(V.4.3), найдем

(V.4.9)

где

Условие (V.4.9) всегда выполняется, если

(V.4.10)

Из неравенства (V.4.7) следует:

(V.4.11)

Принимая во внимание, что в худшем случае и среди величин содержится по крайней мере величин, равных найдем

(V.4.12)

где

Неравенство (V.4.13) всегда имеет место, если

(V.4.13)

где .

Теорема V.5. Если элементы матрицы и таковы, что выполняются условия (V.4.5)-(V.4.7) (или более простые (V.4.8)-(V.4.13), то разбиение множества на основе критерия отношения правдоподобия с критическим уровнем оказывается оптимальным. В этой ситуации не имеет смысла пытаться уменьшить средний рнск путем учета при декодировании неравномерности априорного распределения и «неравноценности» ошибок декодирования.

Примеры. Пусть

(V.4.14)

и

тогда неравенства (V.4.5)-(V.4.7) будут выполнены, если соответственно

(V.4.15)

(V.4.16)

(V.4.17)

Следует обратить внимание на то, что выполнение (V.4.16) автоматически обеспечивает требование (V.4.15) .

Таким образом, если априорное распределение и матрица трансформации сложных сигналов таковы, что выполняются условия (V.4.16)-(V.4.17), то учет при декодировании неравновероятности передаваемых сообщений теряет свой смысл. Пусть

(V.4.18)

(V.4.19)

тогда неравенство (V.4.5) имеет тривиальный смысл, а соотношения (V.4.10) и (V.4.13) примут вид

(V.4.20)

(V.4.21)

Таким образом, в случае, когда «потери», возникающие при принятии решения , зависят от того, какое сообщение было передано, но имеет место (V.4.21)-(V.4.22), декодирование по критерию отношения правдоподобия с критическим уровнем остается оптимальным.

Наконец, рассмотрим третий пример, положив

(V.4.22)

В соответствии с формулой (1V.7.28) неравенство (V.4.5) будет выполнено, если

(V.4.23)

Из неравенств (V.4.10) и (V.4.13) получим

(V.4.24)

(V.4.25)

Аналогичным образом могут быть рассмотрены и другие случаи.

В заключение отметим, что полученные условия, определяющие инвариантность декодирования по критерию (V.4.1)-(V.4.2), являются завышенными. Их уточнение для каждой заданной матрицы связано с более тщательным анализом системы неравенств (V.4.5)-(V.4.7)