3.5. Частотная характеристика КИХ-фильтров с линейной фазой

Записав частотную характеристику КИХ-фильтров с линейной фазой в виде

                 (3.19)

где  — действительная функция, а  и  определяются формулами (3.18), выразим функцию  через значения коэффициентов импульсной характеристики для каждого из четырех видов фильтров с линейной фазой. Соответствующие формулы будут получены в данном разделе. Позже они будут использованы при изложении различных методов расчета КИХ- фильтров с заданными частотными характеристиками.

Фильтр вида 1. Симметричная импульсная характеристика, нечетное . Для этого случая  можно представить в виде

     (3.20)

Делая замену  во второй сумме, получим

  (3.21)

Поскольку , две суммы в (3.21) можно объединить, а член вынести за скобки, что дает

    (3.22)

или

     (3.23)

Подставив , получим

    (3.24)

Окончательно при  и , где , выражение (3.24) принимает вид

                              (3.25)

что и дает искомую частотную характеристику. Таким образом, для фильтра вида 1

                         (3.26)

Фильтр вида 2. Симметричная импульсная характеристика, четное . В этом случае  принимает вид

       (3.27)

Подставляя в это выражение

получим

      (3.28)

Таким образом, для фильтра вида 2

                                 (3.29)

Необходимо отметить, что  при  независимо от значений  [или ]. Отсюда следует, что нельзя использовать фильтры этого вида для аппроксимации частотной характеристики, отличной от нуля при  (например, при проектировании фильтров верхних частот).

Фильтр вида 3. Антисимметричная импульсная характеристика, нечетное .

В этом случае вывод формулы для  почти такой же, как и для фильтров вида 1, за исключением того, что из-за антисимметрии  сумма косинусов заменяется на сумму синусов, умноженную на , т. е. вместо формулы (3.24) следует записать

    (3.30)

где , как было показано выше. Делая подстановку  при , получим

    (3.31)

Таким образом, для фильтра вида 3

                          (3.32)

Фиг. 3.4. Четыре вида фильтров с линейной фазовой характеристикой.

Видно, что  на частотах  и  независимо от значений  [или значений , что то же самое]. Более того, множитель  в формуле (3.31) показывает, что без учета множителя с линейным изменением фазы частотная характеристика является чисто мнимой функцией. Поэтому этот вид фильтров наиболее пригоден для проектирования преобразователей Гильберта и дифференциаторов.

Фильтр вида 4. Антисимметричная импульсная характеристика, четное .

В этом случае есть аналогия с фильтрами вида 2. Заменяя сумму косинусов суммой синусов, умноженной на , вместо (3.27) получим

    (3.33)

Подстановка в это выражение

дает

     (3.34)

Таким образом, для фильтра вида 4

                                 (3.35)

причём  при . Следовательно, этот вид фильтров больше всего подходит для аппроксимации дифференциаторов и преобразователей Гильберта.

На фиг. 3.4 графически представлены все основные результаты, полученные в этом разделе, а именно типичные импульсные характеристики , соответствующие им сдвинутые последовательности [от  до  для каждого конкретного случая] и типичные частотные характеристики  для каждого из четырех видов КИХ-фильтров с линейной фазой.