3.5. Частотная характеристика КИХ-фильтров с линейной фазой
Записав
частотную характеристику КИХ-фильтров с линейной фазой в виде
(3.19)
где
—
действительная функция, а 
и 
определяются формулами
(3.18), выразим функцию через значения коэффициентов
импульсной характеристики для каждого из четырех видов фильтров с линейной
фазой. Соответствующие формулы будут получены в данном разделе. Позже они будут
использованы при изложении различных методов расчета КИХ- фильтров с заданными
частотными характеристиками.
Фильтр вида 1. Симметричная
импульсная характеристика, нечетное 
. Для этого случая 
можно представить в
виде
(3.20)
Делая
замену 
во
второй сумме, получим
(3.21)
Поскольку
, две
суммы в (3.21) можно объединить, а член вынести за скобки, что дает
(3.22)
или
(3.23)
Подставив
, получим
(3.24)
Окончательно
при 
и
, где 
, выражение (3.24)
принимает вид
(3.25)
что
и дает искомую частотную характеристику. Таким образом, для фильтра вида 1
(3.26)
Фильтр вида 2. Симметричная
импульсная характеристика, четное . В этом случае принимает
вид
(3.27)
Подставляя
в это выражение
получим
(3.28)
Таким
образом, для фильтра вида 2
(3.29)
Необходимо
отметить, что 
при
независимо
от значений 
[или
]. Отсюда
следует, что нельзя использовать фильтры этого вида для аппроксимации
частотной характеристики, отличной от нуля при (например, при проектировании
фильтров верхних частот).
Фильтр вида 3.
Антисимметричная импульсная характеристика, нечетное .
В
этом случае вывод формулы для почти такой же, как и для фильтров
вида 1, за исключением того, что из-за антисимметрии 
сумма косинусов заменяется
на сумму синусов, умноженную на 
, т. е. вместо формулы (3.24) следует
записать
(3.30)
где
, как
было показано выше. Делая подстановку 
при , получим
(3.31)
Таким
образом, для фильтра вида 3
(3.32)
Фиг. 3.4. Четыре вида фильтров с линейной фазовой
характеристикой.
Видно,
что на
частотах 
и
независимо
от значений 
[или
значений ,
что то же самое]. Более того, множитель 
в формуле (3.31) показывает, что без
учета множителя с линейным изменением фазы частотная характеристика является
чисто мнимой функцией. Поэтому этот вид фильтров наиболее пригоден для
проектирования преобразователей Гильберта и дифференциаторов.
Фильтр вида 4.
Антисимметричная импульсная характеристика, четное .
В
этом случае есть аналогия с фильтрами вида 2. Заменяя сумму косинусов суммой
синусов, умноженной на , вместо (3.27) получим
(3.33)
Подстановка
в это выражение
дает
(3.34)
Таким
образом, для фильтра вида 4
(3.35)
причём
при
.
Следовательно, этот вид фильтров больше всего подходит для аппроксимации
дифференциаторов и преобразователей Гильберта.
На
фиг. 3.4 графически представлены все основные результаты, полученные в этом
разделе, а именно типичные импульсные характеристики , соответствующие им
сдвинутые последовательности [от 
до 
для каждого конкретного случая] и
типичные частотные характеристики для каждого из четырех видов
КИХ-фильтров с линейной фазой.
