3.27. Ограничение на число экстремумов частотной характеристики фильтра с линейной фазой
Согласно
обобщенной теореме Чебышева, функция ошибки оптимального КИХ-фильтра с линейной
фазой имеет не менее 
экстремумов, где 
— число косинусных функций,
используемых при аппроксимации. Поскольку в большинстве интересующих нас
случаев экстремумы функции 
являются также и экстремумами
функции 
[т. е. обе
производные 
и
равны
нулю, когда 
],
важно знать максимальное число экстремумов . Добавив к этому числу количество
экстремумов ,
которые не являются экстремумами , можно найти общее число экстремумов
функции .
Итак,
рассмотрим для фильтров
вида 1:
(3.112)
Чтобы
найти максимальное число экстремумов на интервале 
, удобно представить выражение
(3.112) в виде обычного полинома по степеням 
. Каждый член вида 
может быть выражен как
(3.113)
где
—
действительные коэффициенты, которые даны в обычных справочниках. Подставив
выражение (3.113) в (3.112), получим
(3.114)
Здесь
коэффициенты 
учитывают
все члены, содержащие 
. Чтобы найти точки экстремумов функции
,
продифференцируем ее:
(3.115)
Здесь
коэффициенты 
.
Чтобы найти максимальное число экстремумов [т. е. значений 
, при которых выражение
(3.115) обращается в нуль], удобно преобразовать (3.115) в обычный полином по
переменной 
,
воспользовавшись подстановкой 
. Результирующая функция 
будет равна
(3.116)
т.
е.
где
(3.117а)
(3.117б)
Ясно,
что 
только
при 
(что
соответствует 
) и 
(что
соответствует 
).
Функция 
является
полиномом степени 
, следовательно, она может иметь самое
большее нулей в открытом
интервале 
.
Поэтому может
иметь не более 
нулей в закрытом
интервале 
.
Таким образом, для фильтра вида 1 с линейной фазой 
число
экстремумов удовлетворяет
условию
фильтр вида 1:
(3.118а)
Чтобы
не повторять аналогичные выкладки, сразу приведем результаты для фильтров вида
2, 3 и 4. Проверить их предоставим читателю. Число экстремумов для фильтров вида
2, 3 и 4 подчиняется следующим ограничениям:
фильтр вида 2:
(3.1186)
фильтр вида 3:
(3.118в)
фильтр вида 4: (3.118г)
Неравенства
(3.118) ограничивают лишь число экстремумов функции . Легко показать,
что при решении задачи аппроксимации для совокупности разрозненных полос
функция ошибки может иметь экстремумы на границах каждой полосы, тогда
как функция в
этих точках обычно не экстремальна. Исключением из этого правила
является случай, когда границы полосы находятся при или , где также часто
имеет экстремум. Так, например, функция ошибки для фильтра нижних частот вида 1
(при решении задачи аппроксимации в двух полосах) может иметь самое большее 
экстремумов, т.
е. экстремумов
функции и два
дополнительных экстремума на границах полос пропускания и непропускания.
Функция ошибки для полосового фильтра вида 1 (при решении задачи аппроксимации
в трех полосах) может иметь самое большее 
экстремумов, т. е. экстремумов и четыре
дополнительных экстремума на границах полос пропускания и непропускания.
Важно
знать заранее максимальное число экстремумов функции ошибки , поскольку эта
величина определяет конкретный способ расчета оптимальных фильтров. Так, для
расчета оптимальных фильтров с максимально возможным числом экстремумов
пригодны лишь два хорошо известных метода. Ясно, что использование обоих этих
методов расчета ограничено тем, что в соответствии с обобщенной теоремой
Чебышева в общем случае фильтры, функции ошибки которых имеют максимальное
число экстремумов, относятся к частному случаю этой теоремы и, следовательно,
представляют лишь подкласс более широкого класса оптимальных фильтров. В
последующих разделах будут рассмотрены алгоритмы расчета различных оптимальных
фильтров. С методической точки зрения целесообразно начать с описания двух
алгоритмов, которые пригодны для расчета лишь подкласса оптимальных фильтров,
т. е. фильтров, функции ошибки которых имеют максимально возможное число
экстремумов. После этого будет рассмотрен алгоритм Ремеза и описано
использование методов линейного программирования для расчета произвольного
оптимального КИХ-фильтра с линейной фазой.
