3.27. Ограничение на число экстремумов частотной характеристики фильтра с линейной фазой

Согласно обобщенной теореме Чебышева, функция ошибки оптимального КИХ-фильтра с линейной фазой имеет не менее  экстремумов, где  — число косинусных функций, используемых при аппроксимации. Поскольку в большинстве интересующих нас случаев экстремумы функции  являются также и экстремумами функции  [т. е. обе производные  и  равны нулю, когда ], важно знать максимальное число экстремумов . Добавив к этому числу количество экстремумов , которые не являются экстремумами , можно найти общее число экстремумов функции .

Итак, рассмотрим  для фильтров вида 1:

            (3.112)

Чтобы найти максимальное число экстремумов  на интервале , удобно представить выражение (3.112) в виде обычного полинома по степеням . Каждый член вида  может быть выражен как

                (3.113)

где  — действительные коэффициенты, которые даны в обычных справочниках. Подставив выражение (3.113) в (3.112), получим

       (3.114)

Здесь коэффициенты  учитывают все члены, содержащие . Чтобы найти точки экстремумов функции , продифференцируем ее:

     (3.115)

Здесь коэффициенты . Чтобы найти максимальное число экстремумов [т. е. значений , при которых выражение (3.115) обращается в нуль], удобно преобразовать (3.115) в обычный полином по переменной , воспользовавшись подстановкой . Результирующая функция  будет равна

      (3.116)

т. е. где

                                            (3.117а)

                   (3.117б)

Ясно, что  только при  (что соответствует ) и  (что соответствует ). Функция  является полиномом степени , следовательно, она может иметь самое большее  нулей в открытом интервале . Поэтому  может иметь не более  нулей в закрытом интервале . Таким образом, для фильтра вида 1 с линейной фазой  число экстремумов  удовлетворяет условию

фильтр вида 1:    (3.118а)

Чтобы не повторять аналогичные выкладки, сразу приведем результаты для фильтров вида 2, 3 и 4. Проверить их предоставим читателю. Число экстремумов  для фильтров вида 2, 3 и 4 подчиняется следующим ограничениям:

фильтр вида 2:           (3.1186)

фильтр вида 3:    (3.118в)

фильтр вида 4:           (3.118г)

Неравенства (3.118) ограничивают лишь число экстремумов функции . Легко показать, что при решении задачи аппроксимации для совокупности разрозненных полос функция ошибки может иметь экстремумы на границах каждой полосы, тогда как функция  в этих точках обычно не экстремальна. Исключением из этого правила является случай, когда границы полосы находятся при  или , где  также часто имеет экстремум. Так, например, функция ошибки для фильтра нижних частот вида 1 (при решении задачи аппроксимации в двух полосах) может иметь самое большее  экстремумов, т. е.  экстремумов функции  и два дополнительных экстремума на границах полос пропускания и непропускания. Функция ошибки для полосового фильтра вида 1 (при решении задачи аппроксимации в трех полосах) может иметь самое большее  экстремумов, т. е.  экстремумов  и четыре дополнительных экстремума на границах полос пропускания и непропускания.

Важно знать заранее максимальное число экстремумов функции ошибки , поскольку эта величина определяет конкретный способ расчета оптимальных фильтров. Так, для расчета оптимальных фильтров с максимально возможным числом экстремумов пригодны лишь два хорошо известных метода. Ясно, что использование обоих этих методов расчета ограничено тем, что в соответствии с обобщенной теоремой Чебышева в общем случае фильтры, функции ошибки которых имеют максимальное число экстремумов, относятся к частному случаю этой теоремы и, следовательно, представляют лишь подкласс более широкого класса оптимальных фильтров. В последующих разделах будут рассмотрены алгоритмы расчета различных оптимальных фильтров. С методической точки зрения целесообразно начать с описания двух алгоритмов, которые пригодны для расчета лишь подкласса оптимальных фильтров, т. е. фильтров, функции ошибки которых имеют максимально возможное число экстремумов. После этого будет рассмотрен алгоритм Ремеза и описано использование методов линейного программирования для расчета произвольного оптимального КИХ-фильтра с линейной фазой.