3.36. Характеристики оптимальных дифференциаторов
Требуемая
частотная характеристика оптимального КИХ- дифференциатора имеет вид
(3.149)
где частота
среза дифференциатора
представляет собой наибольшую
частоту, на которой он еще должен работать. Поскольку характеристика
является чисто
мнимой, для ее аппроксимации используются фильтры вида 3 или 4. Для
минимизации максимума относительной ошибки результирующей частотной
характеристики используется весовая функция вида
. (3.150)
При
использовании фильтров вида 4 частота среза дифференциатора
может достигать
0,5, тогда как для фильтров вида 3 величина
должна быть меньше, так как иначе
максимум относительной ошибки будет близок к 1,0 из-за того, что при
амплитудная
характеристика обращается в нуль.
На
фиг. 3.67-3.70 приведены характеристики нескольких широкополосных
дифференциаторов. На фиг. 3.67 изображены амплитудная характеристика, а также
кривые абсолютной и относительной ошибок дифференциатора с
и
. Максимум
относительной ошибки равен 0,0136, а сама кривая имеет равновеликие пульсации.
Аналогичные кривые для анализатора с
приведены на
фиг. 3.68. В этом случае максимум относительной ошибки уменьшен до 0,0062. На
фиг. 3.69 изображена амплитудная характеристика дифференциатора с
. Поскольку она
должна обращаться в нуль в точке
, кривая ошибки достигает в этой точке
максимума, равного 1,0, т. е. этот дифференциатор оказывается чрезвычайно
низкочастотным. Как видно из фиг. 3.70, а, при уменьшении частоты среза, например
до
,
результирующая частотная характеристика дифференциатора с
становится вполне
приемлемой. На фиг. 3.70, б та же амплитудная характеристика изображена в пределах
от
до
, т. е. до частоты
среза, а на фиг. 3.70, в представлена функция ошибки в том же частотном
диапазоне. Максимум относительной ошибки на интервале
составляет
приблизительно 0,000028.
Фиг. 3.67. Частотные характеристики 16-точечного
оптимального дифференциатора.
Основными
параметрами дифференциатора являются
,
и
— максимум относительной ошибки. На
фиг. 3.71—3.73 приведены результаты большого числа измерений
как функции
и
. На фиг. 3.71 представлены
графики зависимости величины
от
при значениях
, равных 0,5, 0,45 и 0,4, и
четных и нечетных
в диапазоне от 3
до 128. Кривая для нечетных
и
на фиг. 3.71 не
изображена, так как в этом случае
независимо от
величины
. Из фиг. 3.71 следует, что
при одинаковых
величины
дифференциаторов с
четными
на один-два порядка (т. е.
на 20—40 дБ) меньше, чем у дифференциаторов с нечетными
. Из приведенных графиков
также видно, что при более узкой ширине полосы дифференциатора (т. е. при
меньшей величине
) максимум
относительной ошибки быстрее убывает при увеличеиии
. Так, при
величина
уменьшается
только на 35дБ при изменении
от 4 до
128, тогда как при
она уменьшается
приблизительно на 98дБ при изменении
от 4 до 52.
Фиг. 3.68. Частотные характеристики 32-точечного
оптимального дифференциатора.
Фиг. 3.69. Частотная характеристика 31-точечного
оптимального дифференциатора.
Фиг. 3.70. Частотная характеристика 31-точечного
оптимального дифференциатора.
Фиг. 3.71. Относительная ошибка аппроксимации для
оптимальных дифференциаторов в зависимости от
.
Фиг. 3.72. Относительная ошибка аппроксимации для
оптимальных дифференциаторов в зависимости от
.
Фиг. 3.73. Относительная ошибка
аппроксимации для оптимальных дифференциаторов в зависимости от
.
На
фиг. 3.72 и 3.73 приведены графики зависимости ошибки
от
для четных
и нечетных
. Результаты для
четных и нечетных N представлены
отдельно из-за различного характера зависимостей. Из фиг. 3.73 видно, что по
мере приближения
к 0,5 величина
стремится к нулю
независимо от
, т. е. при
нечетных
все кривые в точке
сходятся. При
четных
кривые при всех значениях
идут раздельно. Главный
вывод, который можно сделать по этим кривым, состоит в том, что чем больше
, тем быстрее спадает
максимум относительной ошибки с уменьшением ширины полосы дифференциатора.
Таким
образом, чтобы рассчитать наиболее эффективный КИХ-дифференциатор (т. е.
получить заданную величину максимума относительной ошибки при наименьшем
возможном
), следует выбирать его
полосу как можно меньшей ширины и, если возможно, четное
. Например, чтобы получить
максимум относительной ошибки меньше 1 %, нужно использовать следующие значения
(в
зависимости от
):
|
Нечетные
|
Четные
|
0,5
|
Невозможно
|
22
|
0,45
|
27
|
10
|
0,40
|
15
|
6
|
Если же требуется, чтобы максимум
относительной ошибки был 0,1%, следует использовать другие значения
:
|
Нечетные
|
Четные
|
0,5
|
Невозможно
|
>128
|
0,45
|
41
|
18
|
0,40
|
21
|
12
|
Приведенные
таблицы показывают, насколько существенно можно уменьшить
за счет
изменения
и выбора четного
вместо
нечетного.