3.36. Характеристики оптимальных дифференциаторов

Требуемая частотная характеристика оптимального КИХ- дифференциатора имеет вид

             (3.149)

где частота среза дифференциатора  представляет собой наибольшую частоту, на которой он еще должен работать. Поскольку характеристика  является чисто мнимой, для ее аппроксимации используются фильтры вида 3 или 4. Для минимизации максимума относительной ошибки результирующей частотной характеристики используется весовая функция вида

.              (3.150)

При использовании фильтров вида 4 частота среза дифференциатора  может достигать 0,5, тогда как для фильтров вида 3 величина  должна быть меньше, так как иначе максимум относительной ошибки будет близок к 1,0 из-за того, что при  амплитудная характеристика обращается в нуль.

На фиг. 3.67-3.70 приведены характеристики нескольких широкополосных дифференциаторов. На фиг. 3.67 изображены амплитудная характеристика, а также кривые абсолютной и относительной ошибок дифференциатора с  и . Максимум относительной ошибки равен 0,0136, а сама кривая имеет равновеликие пульсации. Аналогичные кривые для анализатора с  приведены на фиг. 3.68. В этом случае максимум относительной ошибки уменьшен до 0,0062. На фиг. 3.69 изображена амплитудная характеристика дифференциатора с . Поскольку она должна обращаться в нуль в точке , кривая ошибки достигает в этой точке максимума, равного 1,0, т. е. этот дифференциатор оказывается чрезвычайно низкочастотным. Как видно из фиг. 3.70, а, при уменьшении частоты среза, например до , результирующая частотная характеристика дифференциатора с  становится вполне приемлемой. На фиг. 3.70, б та же амплитудная характеристика изображена в пределах от  до , т. е. до частоты среза, а на фиг. 3.70, в представлена функция ошибки в том же частотном диапазоне. Максимум относительной ошибки на интервале  составляет приблизительно 0,000028.

Фиг. 3.67. Частотные характеристики 16-точечного оптимального дифференциатора.

Основными параметрами дифференциатора являются ,  и  — максимум относительной ошибки. На фиг. 3.71—3.73 приведены результаты большого числа измерений  как функции  и . На фиг. 3.71 представлены графики зависимости величины  от  при значениях , равных 0,5, 0,45 и 0,4, и четных и нечетных  в диапазоне от 3 до 128. Кривая для нечетных  и  на фиг. 3.71 не изображена, так как в этом случае  независимо от величины . Из фиг. 3.71 следует, что при одинаковых  величины  дифференциаторов с четными  на один-два порядка (т. е. на 20—40 дБ) меньше, чем у дифференциаторов с нечетными . Из приведенных графиков также видно, что при более узкой ширине полосы дифференциатора (т. е. при меньшей величине ) максимум относительной ошибки быстрее убывает при увеличеиии . Так, при  величина  уменьшается только на 35дБ при изменении  от 4 до 128, тогда как при  она уменьшается приблизительно на 98дБ при изменении  от 4 до 52.

Фиг. 3.68. Частотные характеристики 32-точечного оптимального дифференциатора.

Фиг. 3.69. Частотная характеристика 31-точечного оптимального дифференциатора.

Фиг. 3.70. Частотная характеристика 31-точечного оптимального дифференциатора.

Фиг. 3.71. Относительная ошибка аппроксимации для оптимальных дифференциаторов в зависимости от .

Фиг. 3.72. Относительная ошибка аппроксимации для оптимальных дифференциаторов в зависимости от .

Фиг. 3.73. Относительная ошибка аппроксимации для оптимальных дифференциаторов в зависимости от .

На фиг. 3.72 и 3.73 приведены графики зависимости ошибки  от  для четных   и нечетных  . Результаты для четных и нечетных N представлены отдельно из-за различного характера зависимостей. Из фиг. 3.73 видно, что по мере приближения  к 0,5 величина  стремится к нулю независимо от , т. е. при нечетных  все кривые в точке  сходятся. При четных  кривые при всех значениях  идут раздельно. Главный вывод, который можно сделать по этим кривым, состоит в том, что чем больше , тем быстрее спадает максимум относительной ошибки с уменьшением ширины полосы дифференциатора.

Таким образом, чтобы рассчитать наиболее эффективный КИХ-дифференциатор (т. е. получить заданную величину максимума относительной ошибки при наименьшем возможном ), следует выбирать его полосу как можно меньшей ширины и, если возможно, четное . Например, чтобы получить максимум относительной ошибки меньше 1 %, нужно использовать следующие значения  (в зависимости от ):

Если же требуется, чтобы максимум относительной ошибки был 0,1%, следует использовать другие значения :

Приведенные таблицы показывают, насколько существенно можно уменьшить  за счет изменения  и выбора четного  вместо нечетного.