3.17. Второй метод проектирования — метод частотной выборки

КИХ-фильтр может быть однозначно задан как коэффициентами импульсной характеристики , так и коэффициентами ДПФ импульсной характеристики . Напомним, что обе эти последовательности связаны соотношениями

(3.59)

(3.60)

Кроме того, известно, что коэффициенты ДПФ КИХ-последовательности, равные , можно рассматривать как значения z-преобразования импульсной характеристики фильтра, найденные в равноотстоящих точках на единичной окружности, т. е.

(3.61)

Таким образом, z-преобразование импульсной характеристики КИХ-фильтра можно легко выразить через коэффициенты ДПФ его импульсной характеристики, если подставить (3.60) в выражение для z-преобразования:

(3.62)

Меняя порядок суммирования и суммируя по , получим

(3.63)

Поскольку , то соотношение (3.63) принимает вид

(3.64)

что и является искомым результатом.

Из соотношения (3.64) следует, что для аппроксимации произвольной непрерывной частотной характеристики следует произвести ее дискретизацию по частоте в равноотстоящих точках на единичной окружности (взять частотную выборку) и найти непрерывную частотную характеристику, интерполируя отсчеты частотной характеристики. В этом случае ошибка аппроксимации на частотах взятия выборки будет в точности равна нулю и иметь конечную величину в промежуточных точках. Чем более гладкой является аппроксимируемая частотная характеристика, тем меньше ошибка аппроксимации между частотными отсчетами. Пример такой аппроксимации показан на фиг. 3.27, a и б. На фиг. 3.27, а изображена заданная частотная характеристика (сплошная линия) и выборка из частотных отсчетов (точки). На фиг. 3.27, б представлен результат непрерывной интерполяции частотных отсчетов.

Описанную процедуру можно было бы использовать непосредственно для расчета КИХ-фильтров, однако для улучшения качества аппроксимации, т. е. для уменьшения ошибки аппроксимации, часть частотных отсчетов целесообразно сделать независимыми переменными. Значения этих независимых переменных обычно рассчитывают методами оптимизации на вычислительной машине таким образом, чтобы минимизировать некоторую простую функцию ошибки аппроксимации (например, наибольшую ошибку аппроксимации). В качестве независимых переменных можно выбрать, например, частотные отсчеты, расположенные в переходной полосе между двумя полосами, внутри которых частотная характеристика определена (т. е. в случае фильтра нижних частот между полосами пропускания и непропускания).

Фиг. 3.27. Иллюстрация метода частотной выборки.

Чтобы понять, почему при такой методике оптимизации часто лишь несколько из частотных отсчетов могут существенно уменьшить ошибку аппроксимации, необходимо вычислить значения на единичной окружности. Получаемая при этом интерполяционная формула для расчета частотной характеристики фильтра в функции непрерывной частоты имеет вид

(3.65)

Отсюда следует, что частотная характеристика фильтра является линейной комбинацией частотных интерполирующих функций вида

(3.66)

со значениями частотных отсчетов в качестве коэффициентов. Таким образом, вклад каждого частотного отсчета в общую частотную характеристику пропорционален его значению , умноженному на функцию , смещаемую по частоте на . Оказалось, что интерполирующие функции [т. е.], связанные с частотными отсчетами из переходной полосы, обеспечивают хорошее подавление пульсаций в примыкающих частотных полосах. Таким образом, оптимизируя значения только тех незаданных частотных отсчетов, которые лежат в предварительно выбранных переходных полосах, можно получить фильтры с очень хорошими характеристиками.