4.10. Расчетные диаграммы фильтров нижних частот

Выше уже были приведены все расчетные формулы, необходимые для проектирования фильтров нижних частот, однако было бы весьма полезно и информативно представить соотношения между параметрами фильтров графически. Поскольку число этих параметров в общем случае равно пяти (из них два параметра характеризуют пульсации, два дают граничные частоты и один — порядок фильтра), то ясно, что представить соотношения между всеми параметрами с помощью одной диаграммы не удастся. Используя, однако, последовательность из трех диаграмм, можно достаточно просто и наглядно графически представить все расчетные соотношения, причем это относится и к аналоговым и к цифровым фильтрам (рассчитываемым методом билинейного преобразования). В данном разделе будет описана методика построения и использования таких расчетных диаграмм.

Фиг. 4.24. Эквивалентные параметры амплитудной характеристики цифрового фильтра нижних частот.

На фиг. 4.24 показаны три различных набора параметров пульсаций, используемых для представления пульсаций в полосе пропускания и в полосе непропускания фильтров нижних частот. Амплитудная характеристика, изображенная на фиг. 4.24, а, осциллирует в полосе пропускания  между  и , а в полосе непропускания  — между 0 и . Характеристика на фиг. 4.24, б осциллирует в полосе пропускания между 1 и , а в полосе непропускания — между 0 и . Амплитудная характеристика на фиг. 4.24, a соответствует КИХ-фильтрам, рассмотренным в гл. 3, тогда как характеристика на фиг. 4.24, б [а также на фиг. 4.24, в, о которой будет сказано ниже] более характерна для БИХ-фильтров, рассчитанных методом билинейного преобразования.

Нетрудно связать между собой величины  таким образом, чтобы амплитудные характеристики, представленные на фиг. 4.24, а и б, были эквивалентными. Для этого достаточно нормировать первую из них, умножив на , что дает

                        (4.100)

                       (4.101)

                       (4.102)

              (4.103)

Обозначения, использованные на фиг. 4.24, б, в принципе вполне приемлемы для амплитудных характеристик БИХ-фильтров, однако более общепринятыми для этих фильтров являются обозначения, использующие параметры пульсаций в полосе пропускания  и в полосе непропускания , показанные на фиг. 4.24, в применительно к такой амплитудной характеристике. Из сопоставления фиг. 4.24, б и фиг. 4.24, в легко найти связь  и  с :

       (4.104а)

                            (4.104б)

Здесь целесообразно ввести три дополнительных параметра фильтра:  — уровень пульсаций (в полосе пропускания),  — ослабление в полосе непропускания и ). Они определяются с помощью следующих формул:

               (4.105)

                            (4.106)

         (4 107)

Параметры  и  образуют четвертый набор параметров БИХ-фильтра, описывающих его амплитудную характеристику. Показано, что параметр  является основным параметром аналоговых фильтров и будет использован далее при построении расчетных диаграмм.

Выше было отмечено, что при расчете БИХ-фильтра по фильтру- прототипу непрерывного времени методом билинейного преобразования частотные шкалы этих фильтров связаны простым деформирующим соотношением. Поэтому величину переходного отношения  для фильтров нижних частот можно представить следующим образом:

 для фильтров непрерывного времени, (4.108)

 для цифровых фильтров.              (4.109)

Формула (4.109) дает деформированное (по частоте) переходное отношение.

Чтобы иметь возможность связать искомый порядок фильтра  с параметрами пульсаций , или  или , а также со значениями граничных частот  или , следует для каждого типа фильтра непосредственно использовать свою формулу для расчета . Чтобы проанализировать эти формулы, перепишем их:

  для эллиптических фильтров,      (4.110)

 для фильтров Чебышева,                   (4.111)

 для фильтров Баттерворта,                           (4.112)

Здесь  [см. формулу (4.107)]. Ниже для каждого из рассмотренных типов фильтров будет дан простой и наглядный метод графического представления расчетных соотношений для цифровых и аналоговых фильтров с использованием последовательности из трех диаграмм.

Диаграмма 1 (фиг. 4.25а) связывает расчетный параметр фильтра  с параметрами пульсаций  и  в полосе пропускания и в полосе непропускания соответственно (или с эквивалентными им параметрами). Диаграмма 2 представляет расчетное соотношение, связывающее порядок фильтра , расчетный параметр  и переходное отношение . Диаграмма 3 связывает переходное отношение , граничную частоту полосы пропускания  и ширину переходной полосы .

На фиг. 4.25а—4.25г приведены четыре различных варианта диаграммы 1. Диаграммы на фиг. 4.25а и фиг. 4.25б соответствуют фильтрам, для которых в качестве параметров пульсаций используются соответственно  и величина  в децибелах. Диаграммы на фиг. 4.25в и 4.25г соответствуют фильтрам, для которых параметрами являются соответственно  и  в децибелах.

Приведенные на фиг. 4.26а—4.26в диаграммы 2 представляют расчетные соотношения для каждого из трех фильтров-прототипов: (4.110) — для эллиптических фильтров, (4.111) — для фильтров Чебышева и (4.112) — для фильтров Баттерворта. На всех этих диаграммах 2 расчетный параметр фильтров  изображен в функции переходного отношения ; параметром служит порядок фильтра . Фиг. 4.26а соответствует эллиптическим фильтрам, фиг. 4.26б — фильтрам Чебышева, фиг. 4.26в — фильтрам Баттерворта. На всех этих трех диаграммах для более удобного размещения кривых, соответствующих различным значениям , использована неравномерная горизонтальная шкала. Эта нелинейная шкала описывается формулой

,                                             (4.113)

Фиг. 4.25а. Расчетная диаграмма 1. Зависимость  от  ( — параметр)

Фиг. 4.25б. Расчетная диаграмма 1. Зависимость  от  [ - параметр].

Фиг. 4.25в. Расчетная диаграмма 1. Зависимость  от ослабления в полосе непропускания  — параметр).

Фиг. 4.25г. Расчетная диаграмма 1. Зависимость  от ослабления в полосе непропускания [ — параметр].

Фиг. 4.26a. Расчетная диаграмма 2. Зависимость  от переходного отношения для эллиптических фильтров (порядок фильтра  — параметр).

Фиг. 4.26б. Расчетная диаграмма 2. Зависимость  от переходного отношения для фильтров Чебышева (порядок фильтра  — параметр).

Фиг. 4.26в. Расчетная диаграмма 2. Зависимость  от переходного отноше- j ния для фвльтров Баттерворта (порядок фильтра  — параметр).

Фиг. 4.27а. Расчетная диаграмма 3. Зависимость нормированной ширины пропускания от переходного отношения для цифровых фильтров (ширина переходной полосы  — параметр).

где  — значение горизонтальной координаты , а  — ширина переходной полосы. Таким образом, при малых значениях  шкала почти нелинейна, а при больших , близких к 1, она существенно нелинейна.

Приведенные на фиг. 4.27а и 4.27б диаграммы 3 представляют соотношение, связывающее переходное отношение с частотами среза фильтров [см. формулы (4.108) и (4.109)]. На этих диаграммах частота среза полосы пропускания  изображена в функции

Фиг. 4.27б. Расчетная диаграмма 3. Зависимость нормированной ширины полосы пропускания от переходного отношения для аналоговых фильтров (ширина переходной полосы  — параметр).

переходного отношения  при различных значениях нормированной ширины переходной полосы , определяемой следующим образом:

 для цифровых фильтров (4.114)

 для аналоговых фильтров.

Диаграмма на фиг. 4.27а соответствует цифровым фильтрам, а на фиг. 4.27б — аналоговым. Горизонтальная шкала для переходного отношения идентична шкале, использованной в диаграмме 2 на фиг. 4.26.

Использование диаграмм. Чтобы продемонстрировать использование последовательности диаграмм, приведенных на фиг. 4.25—4.27, рассмотрим методику определения порядка  цифрового эллиптического фильтра, удовлетворяющего следующим условиям:

пульсации в полосе пропускания  (т. е. ±0,086 дБ);

ослабление в полосе непропускания  (80 дБ);

граничная частота среза полосы пропускания 480 Гц;

граничная частота среза полосы непропускания 520 Гц;

частота дискретизации 8000 Гц.

Нормирование граничных частот дает

Для определения порядка  цифрового эллиптического фильтра воспользуемся диаграммами фиг. 4.25а, 4.26а и 4.27а [диаграмма на фиг. 4.26а предназначена для расчета эллиптических фильтров]. Для получения значения т) выберем на фиг. 4.25а кривую, соответствующую . Найдя ее пересечение с линией, соответствующей , получим . Для определения переходного отношения воспользуемся диаграммой на фиг. 4.27а. Найдем пересечение кривой, соответствующей , с линией, соответствующей ; переходное отношение оказывается равным 0,923. [Эта величина хорошо согласуется с отношением , соответствующим другому способу нахождения переходного отношения.] Теперь из диаграммы на фиг. 4.26а можно определить порядок фильтра , найдя пересечение линий, соответствующих значениям расчетного параметра фильтра  и переходного отношения . Таким образом, искомый порядок эллиптического фильтра приблизительно равен 11,5. Чтобы получить заданные значения четырех исходных параметров фильтра, необходимо использовать фильтр 12-го порядка.

При окончательном выборе характеристик фильтра, однако, возможны несколько вариантов. Так, например, если зафиксировать  и изменять переходное отношение приблизительно до величины 0,94, когда порядок фильтра  станет равным 12, то новое значение переходного отношения можно получить, соответственно изменив либо , либо . При этом различные варианты характеристик фильтра можно получить с помощью фиг. 4.27а. Если же зафиксировать переходное отношение, то при  параметр фильтра  будет равен . Теперь по диаграмме 1 на фиг. 4.25а можно сравнить различные варианты выбора величин  и , определяющих новое значение параметра . Можно, кроме того, изменить и , и переходное отношение, взяв, например, их равными  и 0,93, так чтобы точка с этими координатами находилась на кривой с . В этом случае для обеспечения новых значений  и переходного отношения можно изменять все четыре параметра фильтра.

Отметим, что при расчете фильтров Чебышева или Баттерворта следует в качестве диаграммы 2 вместо фиг. 4.26а, предназначенной для расчета эллиптических фильтров, использовать фиг. 4.26б или фиг. 4.26в. Методика расчета при этом не меняется. Для каждого из этих двух типов фильтров требуемый порядок будет значительно превышать максимальный предел, использованный в диаграммах и равный 20, так что «эффективность» эллиптических фильтров очевидна.

Описанная методика графического расчета фильтров весьма универсальна. Вообще она универсальнее большинства программ расчета фильтров. Более того, графическая методика дает возможность разработчику глубже понять влияние небольших изменений характеристик фильтра на искомую величину его порядка. Часто разработчик готов снизить требования к характеристикам фильтра, особенно если это может привести к уменьшению его порядка, выбираемого из условия обеспечения этих характеристик.