3.35. Свойства оптимальных фильтров нижних частот вида 2

Большая часть рассмотренных выше свойств оптимальных фильтров нижних частот вида 1 относится и к фильтрам вида 2, среди которых также можно выделить оптимальные фильтры нижних частот трех основных типов: фильтры с дополнительной пульсацией, кривые ошибок которых имеют  экстремумов равной амплитуды, масштабированные фильтры с дополнительной пульсацией, имеющие  экстремумов равной амплитуды и один меньший экстремум, и, наконец, фильтры с равновеликими пульсациями, имеющие  экстремумов равной амплитуды. Главное отличие фильтров вида 2 от фильтров вида 1 состоит в том, что их частотная характеристика в точке  должна быть равна 0. Это приводит к тому, что фильтры вида 2 имеют некоторые особенности по сравнению с фильтрами вида 1. В настоящем разделе рассмотрены эти особенности и проведено сравнение фильтров нижних частот обоих видов.

На фиг. 3.61 представлена амплитудная характеристика типичного оптимального фильтра нижних частот вида 2. Параметры  имеют здесь тот же смысл, что и для фильтров вида 1. При  амплитудная характеристика равна нулю, так как  в точке . На фиг. 3.62, а и б представлены амплитудные характеристики фильтра вида 2 с дополнительной пульсацией и фильтра вида 2 с равновеликими пульсациями. В этих примерах , поэтому функция ошибки фильтра с дополнительной пульсацией имеет  экстремумов, тогда как у фильтра с равновеликими пульсациями она имеет только 6 экстремумов.

Фиг. 3.61. Амплитудная характеристика оптимального фильтра нижних частот, имеющего 10-точечную импульсную характеристику (т. е.  — четное).

Фиг. 3.62. Амплитудные характеристики оптимальных фильтров нижних частот с дополнительной пульсацией (а) и с равновеликими пульсациями (б), имеющих 10-точечные импульсные характеристики.

Нетрудно показать, что если  либо только четное, либо только нечетное, то оптимальный фильтр с импульсной характеристикой, содержащей  отсчетов, в принципе не может быть лучше (т. е. не может иметь меньший уровень максимума ошибки) оптимального фильтра с импульсной характеристикой, содержащей  отсчетов. Это вполне понятно, поскольку фильтры, импульсная характеристика которых имеет отсчетов, образуют подкласс фильтров с импульсной характеристикой, содержащей N отсчетов, а оптимальный фильтр подкласса не может быть лучше оптимального фильтра всего класса. Однако это положение оказывается несправедливым, если сравниваются оптимальные фильтры с импульсными характеристиками, содержащими соответственно  и  отсчетов. В этом случае невозможно заранее предсказать, какой фильтр будет иметь лучшие характеристики.

Фиг. 3.63. Сравнение ширины переходных полос для оптимальных фильтров нижних частот с четным и нечетным .

Для иллюстрации вышеизложенного на фиг. 3.63 приведены кривые зависимости ширины переходной полосы фильтра  от  при , 10, 11 и . Эти кривые позволяют сделать следующие выводы:

1. При одинаковых  ширина переходной полосы у фильтров с  иногда оказывается меньше, чем у фильтров с , а иногда больше, чем у фильтров с .

2. Кривая зависимости  от  при  несимметрична, хотя аналогичные кривые при  и являются симметричными в том смысле, что каждой точке кривой с координатами  соответствует симметричная ей точка с координатами .

3. Кривая при  заканчивается точкой, соответствующей решению с дополнительной пульсацией.

Второй и третий выводы вытекают из характера оптимального решения, получаемого в точке  для фильтров вида 2. Поскольку в этой точке , т. е. функция ошибки в отличие от фильтров вида 1 здесь не имеет максимума, то простое преобразование переменных, иcпользованное выше для объяснения свойства симметрии фильтров вида 1, в данном случае непригодно. Таким образом, кривая зависимости  от  для фильтров вида 2 не обладает простой симметрией. Третий вывод иллюстрируется на фиг. 3.64, где изображена амплитудная характеристика последнего возможного фильтра с дополнительной пульсацией. Поскольку при  она всегда равна нулю, невозможно получить фильтр с частотой среза , как угодно близкой к 0,5, как в случае нечетных .

Фиг. 3.64. Последний возможный фильтр нижних частот с дополнительной пульсацией при четном N.

Значение первого вывода нельзя недооценить. Тот факт, что фильтр с  (когда для аппроксимации используются пять функций) может обеспечить заданный уровень пульсаций при меньшей ширине переходной полосы, чем фильтр с  (т. е. при использовании для аппроксимации шести функций), является довольно неожиданным. В несколько другой формулировке это означает, что при заданных фиксированных значениях ,  и  фильтр с  может обеспечить меньший уровень пульсаций, чем фильтр с . Так, например, при , ,  фильтр с  будет иметь пульсации , тогда как у фильтра с  пульсации . Ослабление в полосе непропускания фильтра с  приблизительно на 2,2 дБ больше, чем у фильтра с .

На фиг. 3.65 приведены графики зависимости  от  для  при  . Графики построены для  в диапазоне . Характер зависимости ширины переходной полосы от  соответствует кривой фиг. 3.62 в том смысле, что решения при  иногда обеспечивают меньшую ширину переходной полосы, чем решения , а иногда большую ширину, чем решения при .

Фиг. 3.65. Сравнение ширины переходных полос для оптимальных фильтров нижних частот с четным и нечетным .

Две интересные особенности фильтров нижних частот вида 1 лишь частично распространяются и на фильтры вида 2. К ним относятся процедуры масштабирования и существование чебышевского решения задачи проектирования оптимальных фильтров. Фильтры вида 2 с дополнительной пульсацией, как и фильтры вида 1, также можно непосредственно масштабировать в окрестности точки , однако вблизи точки  просто масштабировать невозможно, поскольку в этой точке частотная характеристика фильтров вида 2 обращается в нуль. Из фиг. 3.66, где изображены амплитудные характеристики пяти фильтров с параметрами, взятыми из фиг. 3.63, следует, что действительно существуют оба типа масштабированных фильтров вида 2 с дополнительной пульсацией. На фиг. 3.66, а приведена амплитудная характеристика масштабированного фильтра с дополнительной пульсацией, для которой ошибка аппроксимации в точке  близка к 0,02, в то время как на всех других максимумах она равна 0,1. На фиг. 3.66, б изображена амплитудная характеристика фильтра с дополнительной пульсацией, из которой была получена амплитудная характеристика, представленная на фиг. 3.66,а. На фиг. З.66, в приведена амплитудная характеристика оптимального фильтра, у которой ошибка аппроксимации в последнем экстремуме намного меньше, чем в других экстремумах. Процедура масштабирования для получения амплитудной характеристики такого типа пока не разработана. На фиг. 3.66, г приведена амплитудная характеристика фильтра, у которой кривая ошибки аппроксимации имеет тройной нуль в точке  из-за отмеченного выше необъяснимого хода характеристики. На фиг. 3.66,д представлена амплитудная характеристика фильтра для большего значения , чем у фильтра на фиг. 3.66, г. Эта характеристика имеет равновеликие пульсации, а ее кривая ошибки содержит  максимумов.

Фиг. 3.66. Возможные варианты оптимальных фильтров нижних частот с четным числом отсчетов в импульсной характеристике.