§ 3.3. Энергетические функции

Для установления некоторых свойств пассивных цепей удобно использовать то, вытекающее из закона сохранения энергии, обстоятельство, что энергии, запасённые в магнитных и электрических полях всех элементов системы, а также рассеиваемая в активных сопротивлениях мощность, не могут принимать отрицательных значений. Обозначив мгновенные значения указанных энергий соответственно через величины называемые энергетическими функциями, постараемся выразить их через действующие в контурах заряды и токи

Для определения функции соответствующей мгновенному значению запасённой в системе энергии магнитного поля, исходим из следующей системы уравнений:

Здесь — полные магнитные потоки, пронизывающие 1, 2 и т. д. контуры, с учётом всех индуктивностей и взаимоиндукций, входящих в соответствующий контур.

Умножив первое уравнение на ток второе на получим:

Правые части уравнений в системе (3.15) представляют собой удвоенные мгновенные значения энергий, запасённых магнитными полями контуров от 1-го до включительно. Обозначив полную магнитную энергию через получим:

Эта же энергия может быть выражена через индуктивности непосредственно. Суммируя левые и правые части

уравнений системы (3.15) и учитывая выражение (3.16), можем написать

Отметим, что здесь суммирование по от 1 до даёт строку системы (3.16). Суммируя затем по от 1 до получаем все строк.

Подобным же образом может быть определена полная мгновенная электрическая энергия цепи. В данном случае исходим из системы уравнений:

Здесь результирующие ёмкостные напряжения, получаемые при учёте всех емкостей, входящих в данный контур.

Умножая эти уравнения на соответственно и складывая их, получим удвоенную мгновенную электрическую энергию цепи в виде суммы:

или в форме, подобной (3.17):

Для определения мгновенного значения расходуемой в цепи мощности исходим из уравнений:

Здесь полные падения напряжения на всех активных сопротивлениях, входящих в данный контур.

Умножая уравнения системы (3.21) соответственно на токи и т. д. и складывая левые и правые части, получим выражения, подобные (3.16), (3.17) и (3.19), (3.20):

или

Следует иметь в виду, что функция соответствует половине мгновенной мощности, рассеиваемой во всех контурах цепи.

Для выявления свойств коэффициента передачи цепи основной интерес представляет рассмотрение энергетических функций в стационарном состоянии при возбуждении цепи синусоидальной электродвижущей силой. В подобном режиме контурные токи и заряды, являющиеся гармоническими функциями, могут быть представлены в форме:

Здесь комплексная амплитуда тока, сопряжённая ей величина.

Вместо мгновенных значений функций в случае гармонического изменения удобнее пользоваться усреднёнными за период значениями этих величин.

Интегрируя ур-ния (3.17), (3.20) и (3.23) в пределах от до разделив на и подставив согласно ф-лам (3.24) и (3.25), можно получить следующие выражения для усреднённых (за период) энергетических функций: