§ 3.7. Связь между модулем и фазой коэффициента передачи

Вместо модуля коэффициента передачи удобнее пользоваться понятием логарифмическое затухание, определяя его следующим, образом:

Модуль коэффициента передачи при заданном затухании равен

Подстановка выражения (3.57) в позволяет представить коэффициент передачи в форме

Комплексная величина

характеризующая логарифмическое затухание амплитуды и изменение фазы выходного напряжения относительно входного, может быть названа постоянной передачи четырёхполюсника по аналогии с термином, применяемым в теории длинных линий.

Выяснив связь между тем самым найдём и связь между модулем и фазой, поскольку переход от а к модулю с помощью выражения (3.57) не представляет труда.

Переходя в выражении для к переменной получим и постоянную передачи в виде функции

Характер изменения этой новой функции на плоскости существенно отличается от функции Полюсы и нули функции для функции являются логарифмическими особыми точками. Поэтому требование отсутствия особых точек в правой полуплоскости равносильно требованию, чтобы функция не имела в этой полуплоскости ни полюсов, ни нулей.

В этом усилении требований к кроется глубокий смысл, так как оказывается, что однозначная связь между модулем и фазой существует только для пассивных цепей, коэффициент передачи которых не имеет нулей в правой полуплоскости.

Для выяснения смысла этого условия рассмотрим четырёхполюсник, коэффициент передачи которого обладает одним нулём в правой полуплоскости Поскольку особые точки коэффициента передачи физических цепей являются попарно сопряжёнными комплексными величинами, допущение о наличии одной особой точки требует расположения этой точки на вещественной оси о плоскости Для определённости положим, что точка является нулём функции а все остальные особые точки: нули и полюсы расположены в левой полуплоскости. Представив коэффициент передачи в форме, подобной выражению (3.45):

и умножив числитель и знаменатель на один и тот же множитель перепишем правую часть выражения (3.60) в виде произведения двух коэффициентов передачи:

В соответствии с таким представлением заданный четырёхполюсник с коэффициентом передачи можно заменить ступенчатым соединением двух четырёхполюсников (рис. 3.19) с коэффициентами

Перейдём теперь от т. е. будем рассматривать характер изменения коэффициента передачи на оси Тогда для второго четырёхполюсника получим:

Рис. 3.19. Ступенчатое соединение двух четырёхполюсников

Нетрудно видеть, что модуль этого коэффициента передачи равен единице, а фазовая характеристика

Умножение на означает поэтому всего лишь изменение фазовой характеристики цепи при сохранении неизменным модуля Иными словами коэффициент передачи исходного четырёхполюсника по модулю совпадает с а по фазовым характеристикам отличается на т. е. Итак, двум четырёхполюсникам с одинаковыми по модулю коэффициентами передачи соответствуют две фазовые характеристики различающиеся на величину определяемую ф-лой (3.62).

Поскольку коэффициент передачи полученный из заменой множителя на о 19 не имеет более нулей в правой полуплоскости, дальнейшее выделение из него коэффициентов вида невозможно. Поэтому можно считать фазовую характеристику однозначно связанной с модулем или, что то же,

Итак, отсутствие нулей функции в правой полуплоскости обеспечивает однозначную связь между модулем и фазой, а наличие нулей указывает на возможность изменения фазовой характеристики при сохранении неизменным модуля путём выделения цепей вида (3.61). Ясно, что приведённые выше рассуждения могут быть распространены на любое число нулей как вещественных, так и сопряжённых, причём число выделяемых четырёхполюсников должно равняться числу пар сопряжённых нулей.

Четырёхполюсник, соответствующий коэффициенту передачи [см. ф-лу (3.61)], представляет самостоятельный

технический интерес, как средство для корректирования фазовых характеристик цепей, и применяется в различных отраслях техники связи. Выражение (3.61) относится к одному из частных случаев общего определения коэффициента передачи, так называемых «скрещенных схем» (рис. 3.20). В теории скрещенных схем доказывается, что при выполнении условия постоянная передачи определяется выражением:

так что

Рис. 3.20. «Скрещенная» схема

Для получения постоянства модуля на всём частотном диапазоне должны быть чисто реактивными сопротивлениями. Тогда, положив

получим

Сравнивая выражения (3.64) и (3.61), находим

Схема четырёхполюсника, удовлетворяющего выражению (3.64) показана на рис. 3.21. Эта схема представляет собой простой мост, составленный из чисто реактивных элементов и нагруженный на активное сопротивление Схема обладает равномерной частотной характеристикой для всех частот от до

Помимо различного рода мостовых и балансных схем, нули коэффициента передачи в правой полуплоскости могут иметь также цепи с неколькими перекрёстными связями между различными звеньями.

Большинство четырёхполюсников, рассматриваемых в теории радиотехнических цепей, относится к категории лестничных схем (многозвенные фильтры, многосту пенные усилители и т. д.), для которых требование отсутствия нулей в правой полуплоскости выполняется.

Рис. 3.21. Скрещенная схема в виде реактивного моста, обладающего равномерной частотной характеристикой При

В дальнейшем рассмотрении модуль и фазу коэффициента передачи будем считать однозначно связанными, а постоянную передачи не имеющей нулей при Учитывая, кроме того, что затухание а является функцией чётной относительно , а нечётной, приходим к выводу, что к приложимы все рассуждения, использованные в предыдущем параграфе при выводе соотношений (3.53) и (3.54). Заменяя в указанных выражениях затуханием фазовой характеристикой получим интересующие нас зависимости:

Здесь остаётся в силе сделанное в предыдущем параграфе замечание о главном значении интеграла, т. е. об исключении точки из пути интегрирования в выражениях (3.65) и (3.66). Как и при определении выражения (3.65) и (3.66) в некоторых случаях позволяют подметить характер взаимной связи между изменением затухания а и фазы Не следует, однако, упускать из виду, что затухание выражающееся через логарифм модуля коэффициента передачи, является значительно более сложной функцией частоты, чем У). То же можно сказать относительно фазы Поэтому для участка вблизи при использовании методов приближённого интегрирования необходимо обеспечить

бблыпую точность, чей при вычислении интегралов (3.53) и (3.54). Для суждения о характере изменения функций а и необходимо выполнить интегрирование в пределах от 0 до что для реальных цепей, если не прибегать к замене характеристик затухания и фазы фиктивными, идеализированными характеристиками, сильно усложняет задачу. Для выяснения некоторых важных свойств модуля и фазы ниже будет использован иной способ, свободный от указанных недостатков.