§ 3.8. О наклоне фазовой характеристики

В данном параграфе целью исследования взаимосвязи частотных и фазовых характеристик является:

1) определение знака производной для цепи, обладающей равномерной частотной характеристикой в диапазоне

2) выявление условий, при которых возможно изменение знака производной (хотя бы на отдельных участках частотного диапазона);

3) объяснение принципиальной невозможности использования изменения знака производной для осуществления «опережения» сложного сигнала.

Первая из поставленных задач может быть решена путём рассмотрения свойств физических цепей, способных равномерно пропускать все частоты Единственно возможной системой, обладающей на всём частотном диапазоне равномерной частотной и линейной фазовой характеристикой (если не говорить о чисто активном сопротивлении), является «неискажающая» линия, нагруженная на активное сопротивление, равное характеристике линии.

При фазовой скорости и геометрической длине линии I разность фаз между входным и выходным напряжениями равна Время пробега сигнала вдоль линии, равное определяет собой крутизну фазовой характеристики, линейно убывающей от до при изменении частоты в тех же пределах. Цепи с сосредоточенными постоянными не позволяют осуществить подобные частотно-фазовые характеристики. Можно, однако, построить четырёхполюсник с сосредоточенными постоянными, который обеспечивал бы одинаковое для всех частот затухание, но, естественно, при нелинейной фазовой характеристике. Простейшим примером подобного устройства является

мостовая схема, показанная на рис. 3.20, при выполнении условия где чисто реактивные плечи моста.

Коэффициент передачи для подобной схемы в соответствии с выражением (3.64) равен

Продифференцируем это выражение по частоте:

Отсюда

Подставив вместо правую часть выражения (3.67), получим

Но в согласии с теоремой о реактивном сопротивлении следовательно, что и требовалось доказать.

Итак, любые цепи, имеющие равномерную частотную характеристику (с распределёнными или сосредоточенными постоянными), обладают тем свойством, что наклон фазовой характеристики отрицателен для всех частот в диапазоне

Для выяснения условий, при которых возможно изменение знака производной фазовой характеристики, воспользуемся результатами, полученными в § 3.5 при рассмотрении чисто реактивного четырёхполюсника. Из анализа следует, что положительный наклон фазовой характеристики можно ожидать на участках диапазона вблизи частот где при отсутствии потерь фаза скачком увеличивается на а при наличии потерь имеет конечную производную. Для определения истинной фазовой характеристики, соответствующей реальным колебательным цепям с относительно малым

затуханием, воспользуемся следующим приёмом. Положим, что затухания всех контуров, способных образовать нули и полюсы коэффициента передачи четырёхполюсника, одинаковы. Говоря точнее, положим, что вещественные части а одинаковы для всех особых точек функций (как будет видно из дальнейшего, это допущение не является существенным ограничением). Тогда особые точки коэффициента передачи расположатся на плоскости (рис. 3.22) вдоль прямой параллельной оси В отличие от чисто реактивного четырёхполюсника коэффициент передачи в данном случае не имеет особых точек на оси Интересующая нас постоянная передачи может быть выражена через значение этой функции на линии т. е. через постоянную того же четырёхполюсника, но без учёта потерь. Для этой цели можно воспользоваться разложением в ряд Тейлора:

Рис. 3.22. Положение особых точек коэффициента передачи четырёхполюсника с потерями

Здесь постоянная передачи заданного четырёхполюсника при отбрасывании активных сопротивлений, производные по переменной

Искомую постоянную передачи с учётом потерь представим в виде

а без учёта потерь в виде

Находим производные:

Подставляя полученные выражения производных в ряд (3.69) и разделяя вещественные и мнимые части, получим:

Сходимость ряда (3.69) тем лучше, чем больше отличается рассматриваемая частота от одной из частот или где образует скачок а обращается в Для значений со, не слишком близких к указанным точкам, в выражениях (3.70) и (3.71) можно ограничиться первыми производными Тогда получим:

Выражение (3.71) удобно для выявления характера функции при учёте потерь. Допустим, что нас интересует фазовая характеристика вблизи частоты Согласно определению (3.56) прологарифмируем выражение (3.46) и выделим член, соответствующий множителю . Получим

При изменении в небольших пределах вблизи все слагаемые в правой части выражения (3.72), за исключением последнего, приближённо можно считать постоянными.

Следовательно,

Подставляя это выражение в (3.71), находим

Отсюда следует, что при приближении к со стороны нижних частот т. е. истинная фазовая характеристика расположена ниже, чем характеристика соответствующая цепи без потерь, а при приближении со стороны верхних частот расположена выше Проходя, таким образом, все особые точки (резонансные частоты) и определяя можно устранить скачки фазы и получить истинную фазовую характеристику в виде непрерывной функции частоты, имеющей отрицательную производную на участках вблизи точек <пп и положительную производную вблизи точек При учёте потерь величина в отличие от имеет конечные значения как в точках так и в точках Существенно, однако, что в точках где фазовая характеристика имеет отрицательный наклон, проходит через максимум, а в точках через минимум.

На основании вышеизложенного можно сформулировать следующее положение:

на участках частотного диапазона, где производная функции положительна, модуль коэффициента передачи проходит через минимум. В полосе пропускания цепи фазовая характеристика любого четырёхполюсника имеет отрицательную производную. Положительный наклон фазовая характеристика может иметь только в «полосе задержания» четырёхполюсника, т. е. на том участке диапазона, где ослабление амплитуд максимально.

Сделанное выше допущение об одинаковости затуханий а не ограничивает общности приведённого доказательства, так как при рассмотрении частоты, близкой к одной из

резонансных частот цепи, затухания, соответствующие другим резонансным частотам, существенного влияния на результат не оказывают.

Следует, с другой стороны, подчеркнуть, что, как указывалось выше, выражения (3.70) и (3.71) теряют силу в непосредственной близости к особым точкам Для определения величины наклона при частотах и можно воспользоваться следующим приёмом. Вводя в выражение (3.45) вместо не как это было сделано при выводе ф-лы (3,47), а комплексные особые точки получим:

Рис. 3.23. Изменение фазы вблизи частоты

Таким образом, изменение фазы коэффициента передачи, обусловленное членом будет определяться выражением:

Вводя для расстройки частоты относительно обозначение и ограничиваясь рассмотрением участка будем иметь:

где

График показан на рис. 3.23.

При

Подобное же выражение получим и для участка вблизи но если в первом случае фаза 9 входила в общую фазу со знаком плюс, то в данном случае нужно брать знак минус

Нетрудно убедиться, что в точке наклон фазовой характеристики отрицателен и равен

как и в случае простого колебательного контура с резонансной частотой и затуханием а.

В качестве примеров четырёхполюсников, обладающих частотами отличными от или можно привести схемы, показанные на рис. 3.24.

Для схемы рис. 3.24а частоты соответствуют параллельным резонансам контуров, содержащих а для схемы рис. 3.246 — последовательным резонансам в элементах связи

В указанных примерах вещественные части особых точек можно отождествлять с затуханиями а соответствующих контуров.

Теперь можно решить третью задачу, поставленную в начале данного параграфа.

Рис. 3.24. Примеры четырёхполюсников, коэффициенты передачи которых обладают особыми точками типа нуль: а) при частотах параллельного резонанса контуров при частотах последовательного резонанса цепей

Ограничение участка, в пределах которого узкой полосой частот вблизи означает, что опережение возможно только для сигналов, спектры которых ограничены указанной полосой.

Но ограничение спектра входного сигнала означает «растягивание» его во времени. Сигнал, спектр которого ограничен конечной полосой, действует при и говорить об опережении по отношению к такому сигналу нет смыслаг). Если, же иметь в виду сигнал, действующий в течение ограниченного отрезка времени и обладающий, следовательно, бесконечно широким спектром, то при определении выходного сигнала необходимо учитывать наложение двух частей спектра входного сигнала: «опережающей» и «запаздывающей».

Рис. 3.25. Пример цепи, фазовая характеристика которой обладает положительным наклоном вблизи резонансной частоты контура

Первая часть, как уже указывалось, ограничена узкой областью частот и соответствует ослаблению амплитуд вследствие прохождения модуля коэффициента передачи через минимум. Вторая часть спектра, содержащая подавляющую часть энергии всего сигнала, приходится на остальную часть диапазона, включая полосу пропускания четырёхполюсника. Наложение двух напряжений, соответствующих указанным частям спектра входного сигнала, приводит к гашению напряжения на выходе при

Из предыдущего, кроме того, ясно, что при расширении полосы «опережающих» частот неизбежно снижается крутизна фазовой характеристики, т. е. сокращается время «опережения».

Поясним сказанное на примере цепи, приведённой на рис. 3.25. Фазовая характеристика этой цепи имеет положительный наклон вблизи резонансной частоты контура. Коэффициент передачи этой цепи может быть представлен в виде:

а фаза в виде:

Фазовая характеристика и модуль коэффициента передачи для при изменении — в пределах от до показаны на рис. 3.26. Нетрудно показать, что при наклон фазовой характеристики равен

Рис. 3.26. Модуль и фаза коэффициента передачи цепи (см. рис. 3.25) при изменении частоты

Наиболее подходящим сигналом в смысле подчёркивания влияния участка, на котором является мгновенно возникающая синусоидальная эдс с частотой поскольку спектральная плотность подобного сигнала максимальна при

Применяя обычные методы определения устанавливающихся напряжений, находим выражение для выходного напряжения на сопротивлении включённом последовательно с

График выходного напряжения изображён на рис. 3.27. Как и следовало ожидать, опережения сигнала нет; однако нет и запаздывания. Благодаря тому, что значительная часть энергии сплошного спектра сигнала приходится на участок фазовой

характеристики с положительной производной, сигнал на выходе возникает одновременно с входным.

Если, однако, исходить из условия получения значительной крутизны фазовой характеристики вблизи резонансной частоты, то необходимо, чтобы что означает снижение модуля коэффициента передачи рассматриваемой цепи. Можно привести пример, когда цепь, показанная на рис. 3.25, и фазовая характеристика её (см. рис. 3.26) действительно могут быть использованы для получения опережения сигнала; речь идёт о высокочастотной эдс, модулированной по амплитуде гармоническим сигналом с частотой Приравнивая несущую частоту резонансной частоте контура сор и следя за тем, чтобы коэффициент модуляции эдс был настолько меньше единицы, насколько усиление боковых частот больше, чем для несущей, получим сдвиг фазы огибающей выходного напряжения в сторону опережения. Чем больше требуется опережение, тем большая получается неравномерность модуля коэффициента передачи в пределах частот

Рис. 3.27. Напряжение на выходе цепи (см. рис. 3.25) при включении гармонической эдс

Итак, при передаче сложных (не гармонических) сигналов через системы с сосредоточенными постоянными можно говорить только о запаздывании сигналов. При этом следует иметь в виду, что само понятие «запаздывание» является условным. В действительности токи и напряжения на выходе цепи начинаются одновременно с приложением эдс на входе, но моменты времени, соответствующие выбросу выходного сигнала, наступают с некоторым опозданием, зависящим от числа звеньев и параметров цепи.

Таким образом, в системах с конечным числом звеньев, строго говоря, происходит искажение сигналов, которое только приближённо может рассматриваться как запаздывание. Исключение составляют системы с распределёнными постоянными (линии), которые при определённых условиях позволяют осуществить задержку сигнала при сохранении его формы практически неизменной.