2. Обобщенная производная как функционал.

Мы трактовали обобщенные производные как меры. Однако их можно рассматривать и как функционалы. Действительно, левая часть равенства (1.6)

является линейным функционалом, определенным на функциях Оценим его. В силу равенства (1.6) имеем

где, как и выше (см. п. II.1.3), обозначает полную вариацию меры на множестве

Если мы введем в линейном пространстве норму

то это пространство будет нормированным (но не полным). В силу оценки (2.2) функционал (2.1) является ограниченным в этом пространстве. Оказывается, что это свойство является не только необходимым, но и достаточным, чтобы производная была мерой. Именно, имеет место следующая теорема.

Теорема. Пусть функция, заданная и суммируемая на открытом множестве Тогда для того чтобы ее обобщенная производная была мерой, необходимо и достаточно, чтобы для всех имела место оценка

где К — константа, не зависящая от задается равенством (2.3).

Доказательство. Необходимость следует из оценки (2.2). Докажем достаточность. Пусть имеет место оценка (2.4). Рассмотрим пространство С функций заданных, ограниченных и непрерывных на множестве с нормой (2 3). По теореме Банаха-Хана о продолжении линейных функционалов (см., например, [25]) существует линейный ограниченный функционал заданный на пространстве С и совпадающий с функционалом (2.1) на множестве По теореме Рисса об общем виде линейных функционалов в пространстве непрерывных функций (см. п. III.2.5) мы можем утверждать, что существует регулярная конечная мера такая, что

Отсюда следует, что при имеет место равенство (1.6). Теорема доказана.

Доказанная теорема дает удобный критерий для проверки того, что обобщенная производная данной функции и является мерой.

Пример. Рассмотрим на плоскости квадрат Пусть - характеристическая функция этого квадрата, т. е. при при Это разрывная функция Покажем, что ее первые обобщенные производные являются мерами. Рассмотрим, например, производную Имеем для

Отсюда

Таким образом, функционал ограничен и поэтому обобщенная производная является мерой.