2. Вполне непрерывные операторы.

Оператор действующий из гильбертова пространства X в гильбертово пространство называется вполне непрерывным, если он каждое ограниченное множество переводит в компактное (см. п. 1.4.12).

Другими словами, это значит, что какова бы ни была бесконечная последовательность элементов пространства X такая, что последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся в пространстве

Простейшим примером вполне непрерывного оператора является конечномерный оператор. Действительно, если то так что есть ограниченное множество в конечномерном пространстве и, следовательно, компактное (см. п. 1.4.12).

Теорема 1. Пусть гильбертовы пространства, ограниченные операторы, действующие из и из соответственно. Тогда если один из этих операторов является вполне непрерывным, то их произведение также является вполне непрерывным оператором.

Короче, произведение вполне непрерывного оператора на ограниченный есть вполне непрерывный оператор.

Доказательство. Пусть -вполнз непрерывный, В — ограниченный оператор. Если -ограниченная последовательность в А, то есть ограниченная последовательность в следовательно, содержит подпоследовательность, сходящуюся в Таким образом, вполне непрерывный оператор.

Для случая, когда А ограниченный, вполне непрерывный оператор, доказательство столь же просто.

Теорема 2. Пусть ограниченный линейный оператор. Тогда если вполне непрерывен один из следующих операторов: то вполне непрерывны и все остальные.

Доказательство. Пусть вполне непрерывный оператор в пространстве Покажем, что А есть вполне непрерывный оператор. Действительно, пусть ограниченная последовательность пространстве Тогда существует подпоследовательность такая, что сходится в пространстве Имеем

Таким образом, последовательность является фундаментальной в следовательно, сходящейся. Полная непрерывность оператора доказана.

Точно так же доказывается, что из полной непрерывности оператора в пространстве следует полная непрерывность оператора А:

Для полного доказательства теоремы остается только показать, что полной непрерывности оператора следует полная непрерывность оператора Но это утверждение является прямым следствием теоремы Теорема доказана.