7. Размерность пространства.

Определение 1. Линейное пространство называется конечномерным, если в нем существует конечное исло линейно-независимых векторов таких, что каждый вектор из является их линейной комбинацией. Эти векторы называются базисом пространства.

В конечномерном пространстве могут быть различные базисы. В приложении к этой главе доказано, что все базисы данного конечномерного пространства содержат одинаковое число векторов. Это дает основание для введения следующего определения.

Определение 2. Размерностью конечномерного пространства называется число векторов, входящих в его базис.

Пример. Как показано в п. 6, в пространстве векторы (5.1) линейно независимы и любой вектор из является линейной комбинацией. Следовательно, векторы (5 1) образуют базис в Таким образом, пространство является -мерным соответствии с определением 2.

Упражнение Доказать, что множество полиномов вида (5.4) (где предполагается фиксированным, могут принимать любые вещественные значения) бразует лишенное пространство и это последнее является -мерным.

Определение 3. Линейное пространство называется бесконечномерным, если для любого числа в нем имеется линейно-независимых векторов.

Пример. Пространство бесконечно мерно. Действительно, для любого векторы (5 3) линейно независимы.