§ 2. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
Все функции, которые здесь будут рассматриваться, предполагаются заданными на некотором множестве 
со значениями в банаховом пространстве В. Далее, мы будем считать заданной меру 
определенную на некоторой с-алгебре А подмножеств множества 
Как и выше, мы будем называть элементы 
-алгебры А измеримыми (по мере 
множествами.
1. Сходимость последовательностей функций.
Пусть задана последовательность функций 
Нам известны два вида сходимости: 1) сходимость в каждой точке 
т. е. сходимость последовательности элементов 
пространства В при каждом 
равномерная сходимость на множестве 
к функции 
Последнее значит, что 
при 
где обозначено
норма в пространстве В.
В связи с интегрированием понадобятся некоторые расширения этих понятий сходимости.
Определение 1. Последовательность функций 
называется сходящейся почти всюду на множестве 
к функции 
если существует множество 
такое, что 
и последовательность 
сходится к функции 
в каждой точке множества 
Пример 1. Пусть 
есть отрезок [0, 1] числовой оси, 
есть мера Лебега. Ясно, что 
сходится к функции 
почти всюду, именно на множестве 
причем — 
(так как мера Лебега неотрицательна, то ее полная вариация совпадает с ней).
Определение 2. Последовательность функции 
называется почти равномерно сходящейся к функции 
на множестве 
если для любого числа 
существует такое измеримое множество 
что 
и последовательность 
сходится равномерно к функции 
на множестве 
Таким образом, почти равномерная сходимость отличается от равномерной тем, что речь идет о равномерной сходимости не на всем множестве 
а на подмножествах, мера которых как угодно близка к 
Ясно, что из равномерной сходимости на множестве 
следует почти равномерная сходимость, однако обратное неверно.
Пример 2. Пусть 
полуинтервал 
мера Лебега. Эта последовательность сходится к нулю в каждой точке множества 
Сходимость является почти равномерной, так как имеет место равномерная сходимость на любом отрезке 
где 
может быть взято как угодно близким к единице. Легко проверить, что указанная последовательность не является равномерно сходящейся на множестве 
