12. Понятие о компактности.

Множество X, принадлежащее нормированному пространству В, называется компактным, если каждая бесконечная последовательность элементов множества X содержит подпоследовательность, сходящуюся в пространстве В.

Если пространство В конечномерно, то существует весьма простой критерий компактности: всякое ограниченное множество является компактным

В бесконечномерном случае ограниченные множества могут не быть компактными. Это следует, в частности, из такого утверждения: бесконечная ортонормированная последовательность векторов в евклидовом пространстве не является компактной. При этом под ортонормированной понимается такая последовательность векторов, которые попарно ортогональны: и нормы которых равны единице: (подробней о таких последовательностях будет сказано в § 5). Легко найти расстояние между любыми двумя векторами этой последовательности. Имеем

Если бы рассматриваемая последовательность содержала сходящуюся подпоследовательность, то расстояния между элементами этой подпоследовательности с ростом номеров должны были бы стремиться к нулю, что противоречит (12.1).

Известны критерии компактности множеств для широкого класса бесконечномерных пространств. Для пространства эти критерии будут сформулированы в дальнейшем.