2. Фундаментальное решение.

Мы дадим определение и построим фундаментальное решение уравнения Лапласа. Условимся для краткости называть гладкой функцию, имеющую вторые непрерывные производные. Дадим следующее определение.

Определение. Функция пары точек называется фундаментальным решением уравнения Лапласа, если она является гладкой функцией при и для любой точки и любой финитной гладкой функции имеет место равенство

Покажем, прежде всего, что так определенная функция действительно является решением уравнения Лапласа

по х в каждой точке . С этой целью рассмотрим произвольную финитную гладкую функцию равную нулю в некоторой окрестности точки Так как то, проведя дважды интегрирование по частям в интеграле (2.1), получим

Ввиду произвольности функции и отсюда получаем (2.2).

Чтобы найти фундаментальное решение, мы в качестве наводящего соображения будем считать, что есть сферически-симметричная функция с полюсом в точке т. е.

На основании (1.5) функции есть решение уравнения

Отсюда

где с — некоторая константа. Интегрируя и полагая постоянную интегрирования равной нулю, получим

Мы покажем, что если в качестве постоянной с выбрать с где — площадь поверхности сферы радиуса единица в -мерном пространстве, то функция является фундаментальным решением уравнения Лапласа.

Итак, рассмотрим функцию

Нам надлежит доказать, что имеет место равенство (2.1). Однако, учитывая дальнейшие приложения фундаментального решения, мы докажем более общее равенство, из которого, в частности, будет следовать (2.1).