4. Теорема о разрешимости.

В терминах верхних и нижних функций можно сформулировать следующий критерий разрешимости задачи (1.1), (1.2) (ср. [55, 56]).

Теорема. Задача (1.1), (1.2) тогда и только тогда имеет ограниченное обобщенное решение, когда существуют верхняя и нижняя функции этой задачи, удовлетворяющие почти всюду в области неравенству При этом всегда есть решение такое, что почти всюду

Среди всех ограниченных решений, удовлетворяющих неравенству существует минимальное решение а среди всех ограниченных решений, удовлетворяющих неравенству существует максимальное решение Функции удовлетворяют неравенствам (4.1) и являются пределами при решений задачи (2.1), (1.2) при соответственно.

Доказательство. Если задача (1.1), (1.2) имеет ограниченное обобщенное решение то достаточно взять в качестве верхней и нижней функций Все утверждения теоремы при этом очевидны.

Пусть нижняя и верхняя функции задачи (1.1), (1.2). Существование хотя бы одного решения, удовлетворяющего неравенствам (4.1), вытекает из следствия предыдущего пункта. В силу (3.5) для имеем почти всюду

Если произвольное ограниченное решение задачи (1.1), (1.2), то функции являются нижней и верхней функциями задачи (2.1), (1.2) при Поэтому а значит, почти всюду. Этим доказана минимальность решения

Аналогично доказывается, что - максимальное решение в классе ограниченных функций Теорема доказана.

Заметим, что требование не является лишним. Если для параболических уравнений выполнение интегральных неравенств и соответствующих начальных и граничных условий автоматически приводит к неравенству во всей области, то для эллиптических уравнений это, вообще говоря, не так: из (3.1), (3.2) еще не следует и В противном случае мы немедленно получили бы теорему единственности решения задачи (1.1), (1.2). В самом деле, для любых двух решений выполнялись бы одновременно оба неравенства: т. е. В общем случае, однако, решение задачи (1.1), (1.2) не единственно, что видно уже на простых примерах.

Пример. Рассмотрим одномерную задачу на отрезке

При любом X она имеет решение Покажем, что при существует другое, положительное решение. Функция удовлетворяет граничным условиям и неравенству

при достаточно малом положительном

При достаточно большом функция удовлетворяет неравенству

Нетрудно видеть, что для этого достаточно взять где наибольший корень уравнения Очевидно, всегда можно считать, что при Так как являются, очевидно, нижней и верхней функциями задачи (4.2) (см. (3.3), (3 4)), то при существует положительное решение этой задачи

В том случае, когда оператор (см. (1.1)) линейный и положительно-определенный (п. VII 2 8), из условий (3.1), (3.2) и теоремы п. VII 6 3 вытекает неравенство и это требование в теореме о разрешимости является лишчим В этом случае решение единственно.