2. Суммируемые функции. Интеграл.

Как и в п. 1, предполагаются заданными множество мера и -алгебра измеримых подмножеств множества

Определение 1. Функция называется суммируемой, если существует такая последовательность простых измеримых функций сходящаяся почти всюду на что

Такую последовательность будем называть определяющей для функции

Непосредственно из определений суммируемой и измеримой функций следует, что каждая суммируемая функция измерима. Кроме того, из определения следует, что функция суммируема по мере тогда и только тогда, когда она суммируема по мере Из (2.1) заключаем, что последовательность

где измеримое множество, является фундаментальной в пространстве В. Действительно, пользуясь свойствами интеграла от простой функции, получаем

Из фундаментальности последовательности (2.2) и полноты пространства В следует существование предела этой последовательности.

Определение 2, Интегралом от суммируемой функции по множеству называется предел последовательности (2.2), где определяющая последовательность для функции Так определенный интеграл будем обозначать

Таким образом, имеет место равенство

где - определяющая последовательность для функции Рассмотрим функцию множества

На основании свойства 7 интеграла от простой измеримой функции есть элемент пространства мер причем его норма определяется равенством

Поэтому в силу равенства (2.1)

Таким образом, последовательность является фундаментальной в пространстве С А. Ввиду полноты этого пространства она сходится. Обозначим Очевидно,

Итак, мы показали, что интеграл от суммируемой функции аемый как функция множества, является мерой.

Покажем, что интеграл (2.3) не зависит от произвола в выборе эпределяющей последовательности для функции Действительно, пусть имеются две определяющие последовательности: Обозначим

Очевидно, почти всюду в Далее,

гак как такое равенство имеет место для Следовательно, свойство 6),

для любого измеримого множества Таким образом,

что и доказывает независимость интеграла от произвола в выборе определяющей последовательности.