4. Самосопряженные операторы в конечномерных пространствах, матрицы и квадратичные формы.

Пусть самосопряженный оператор в -мерном евклидовом пространстве Так как оператор конечномерный, то он является вполне непрерывным и поэтому к нему применима теорема 2 п. 3. Пусть все собственные векторы, соответствующие собственным значениям, отличным от нуля. Если то мы можем их дополнить ортонормированной системой векторов таких, что

На основании теоремы 2 п. 3 векторы образуют ортонормированный базис пространства В силу являются собственными векторами оператора соответствующими нулевому собственному значению. Доказана теорема.

Теорема 1. Пусть А — самосопряженный оператор в конечномерном евклидовом пространстве. Тогда существует ортонормированный баше этого пространства, состоящий из собственных векторов оператора А.

Следствие. Пусть а — симметричная матрица порядка Тогда ортонормированный базис пространства состоящий из гобственных векторов матрицы а. Пусть задана квадратичная форма

где симметричная матрица.

Пусть ортонормированная система собственных векторов матрицы а, соответствующая собственным значениям так что

( столбцы). Введем вектор и пусть — транспонированная матрица к Мы можем тогда квадратичную форму (4.2) записать в виде

Разложим по ортонормированной системе

Тогда

Подстановка в (4.3) дает

Заметим, что если записать векторы в проекциях

то (4.4) можно записать

Векторы образуют ортонормированную систему. Преобразование вида (4.5) с матрицей столбцы которой образуют ортонормированную систему, называется ортогональным. (Можно показать, что и строки матрицы образуют ортонормированную систему векторов.)

Доказана теорема. Теорема. Пусть

— квадратичная форма с симметричной матрицей Тогда, сделав ортогональное преобразование

где матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы мы приведем квадратичную форму (4.6) к виду

где - собственные значения матрицы