§ 2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Интегральные формулы, полученные в предыдущем параграфе, мы применим здесь к функциям комплексной неременной и, в частности к аналитическим функциям.

1. Пространство BV.

Мы будем рассматривать комплексные функции точек плоскости Координаты на этой плоскости будем обозначать Поставив в соответствие каждой точке комплексное число мы можем функции точек плоскости трактовать как функции комплексной переменной и писать Иногда удобно указывать явную зависимость функции от координат точек плоскости. Мы будем писать

где вещественная и мнимая части функции

Мы будем говорить, что функция (1.1), заданная на открытом множестве принадлежит пространству если функции и принадлежат этому пространству (см. п. IV.3.1). Это значит, что функции и суммируемы в и обобщенные производим являются мерами. Если в качестве О взята вся комплексная плоскость то мы будем писать вместо

Для функций принадлежащих пространству мы введем следующие обозначения:

Равенства (1.2) следует понимать как равенства мер.

В п. IV.4.4 было введено понятие регулярной точки для вещественной функции. Это определение дословно переносится на комплексные функции. При этом, как легко проверить, точка является регулярной для функции тогда и только тогда, когда она является регулярной точкой вектор-функции Отсюда и из теоремы что если то все точки комплексной плоскости, за исключением, быть может, множества одномерной меры нуль, являются регулярными для функций

Понятие скачка в рассматриваемом случае удобно ввести несколько иначе, чем в Под скачком мы понимать не вектор, а комплексное число. Именно, дадим такое определение.

Пусть — регулярная точка функции -определяющий вектор в этой точке. Скачком функции в точке называется число

Ясно, что в каждой регулярной точке скачок определяется однозначно.

В каждой регулярной точке существует также среднее значение

которое можно понимать как результат предельного перехода в усреднении с симмет ядром Если функция непрерывна, то

2. Формула Грина

Запишем здесь формулу Грина для функции комплексной переменной. Именно, пусть ограниченное множество с конечны, лериметром на плоскости, — его существенная граница. Мы будем через обозначать одномерную меру Хаусдорфа. Пусть — внутренний след функции на существенной границе Будем предполагать, что функция суммируема на 5 по мере Тогда к функции можно применить формулу Грина (1.42), из которой следует на основании

где — внешняя нормаль к

Мы применим к правой части другое обозначение, более принятое в теории функций комплексной переменной. Чтобы к нему прийти, предположим сначала, что есть открытое множество, граница 5 которого задается параметрически:

причем функция имеет непрерывную производную. Введем интеграл

Будем считать, что параметризация (2.2) задана так, что при возрастании точка обходит кривую оставляя множество слева Из правила замены переменных в интеграле следует, что интеграл (2.3) не зависит от произвола в выборе параметризации (2.2) кривой 5.

В частности, в качестве параметра может быть выбрана длина дуги кривой (мера ), отсчитываемая от некоторой фиксированной точки:

В этом случае равенство (2.3) можно записать в виде

Легко проверить, что Если положить то вектор является единичным касательным вектором к . Учитывая, что нормаль входящая в равенство (2.1), является внешней, мы легко установим связь между числами

так как умножение на число есть поворот на против часовой стрелки. Отсюда следует, что равенство (2.5) можно записать следующим образом:

В этом равенстве уже можно отказаться от предположений гладкости, сделанных выше Теперь можно считать произвольным множеством с конечным периметром, — его существенной границей, а вектор внешней нормалью

В новых обозначениях равенство (2.1) можно записать в виде

Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема. Пусть ограниченное множество с конечным периметром, его существенная граница. Пусть, далее, внутренний след функции суммируем на по одномерной мере Хаусдорфа Тогда имеет место равенство (2.8).

Заметим, что интеграл справа в (2.8) определен равенством (2.7) и, как было объяснено выше, в случае гладкой кривой 5 вычисляется по формуле (2.3).