Глава XIII. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА

§ 1. ПРИБЛИЖЕННЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Характерные особенности приближенных методов.

Во многих случаях применение математики к изучению явлений внешнего мира основывается на том, что законы, управляющие этими явлениями, имеют количественный характер и могут быть записаны в виде некоторых формул, уравнений или неравенств. Это дает возможность численным путем исследовать сами явления и делать столь необходимые для практики расчеты.

После того как количественный закон найден, можно уже пользоваться чисто математическими методами исследования. Для определенности изложения мы будем иметь в виду какой-либо закон, записанный в форме уравнения. Это может быть закон движения тела в ньютоновой механике, закон распространения тепла или распространения электромагнитных колебаний и т. п. О таких уравнениях подробно говорилось в главах V и VI. К уравнению обычно присоединяются еще дополнительные условия того или иного вида (в главах V и VI это были граничные и начальные условия), определяющие каждое отдельное решение уравнения.

Первыми и основными математическими задачами здесь будут следующие:

1) Установить разрешимость задачи. Даже если разрешимость задачи довольно очевидна с физической точки зрения, математическое доказательство разрешимости строго формулированной задачи обычно является свидетельством правильности самой математической поста новки задачи. Установить разрешимость удается в широком классе случаев.

2) Попытаться найти явное выражение в виде формулы для величины, характеризующей изучаемое явление. Такое выражение обычно удается чайти лишь в небольшом числе самых простых случаев. При этом не едко оказывается, что явное выражение решения получается настолько сложным, что пользоваться им для исследования явления и нахождения необходимых числовых характеристик весьма затруднительно, а порою даже и совсем невозможно.

3) Указать процесс, при помощи которого можно было бы построить приближенную формулу, дающую решение с какой угодно заданной степенью точности. Последнее удается в широком классе случаев.

4) Наиболее же часто бывает возможно указать один или несколько приемов, позволяющих найти численным путем нужное решение задачи.

Развитие таких численных и, отчасти, приближенных методов решения проблем естествознания и техники является задачей особой ветви математики, которую сейчас обычно называют вычислительной математикой.

Методы вычислительной математики, разумеется, приближенные методы, так как всякую величину мы можем при помощи вычислений найти только с точностью до определенного числа значащих цифр, например на пять, шесть и т. д. десятичных знаков.

Для приложений этого достаточно, так как знание точного Значения какой-либо величины часто не является необходимым. В технически вопросах, например, искомые величины обычно служат для определения размеров и других параметров изделий, подлежащих изготовлений. Всякое же изделие изготовляется лишь приближенно, и поэтому технические расчеты с точностью, превосходящей «допуски», принятые для изделия, очевидно, не имеют значения.

Вычисления поэтому нет надобности производить по абсолютно точным формулам, а для отыскания требуемых величин нет надобности решать абсолютно точные уравнения. Точные формулы и уравнения допустимо заменять заведомо неточными, если они настолько близки к ним, что имеется уверенность, что ошибка, происходящая от такой замены, не превысит заданной границы.

Позже мы вернемся к указанной здесь возможности замены одних задач другими. Сейчас же мы хотели подчеркнуть первую особенность вычислительных методов — они по самому своему характеру могут дать, как правило, только приближенные результаты, а только такие результаты и нужны для практики.

Обратим внимание также на другую черту численных методов математики. При любых вычислениях можно производить операции только с конечным числом чисел и после вычислений получить лишь конечное число результатов. Поэтому каждая задача, которую мы предполагаем решать численным путем, должна быть предварительно приведена к такому виду, чтобы можно было получить все результаты после конечного числа арифметических действий. Если мы выполняем вычисления по какой-либо формуле, то ее следует заранее преобразовать так, чтобы в ней осталось лишь конечное число членов с конечным числом параметров. Известно, например, что весьма многие функции могут быть представлены в виде суммы степенного ряда

Так, функция где под понимается радианцая мера угла, может быть разложена в стеленной ряд

Чтобы найти точное значение мы должны были бы выполнить суммирование «всех» членов ряда (1), что, вообще говоря, невозможно. Чтобы найти приближенно, достаточно взять только некоторое конечное число членов ряда. Например, как это можно показать, для вычисления а; с точностью до для углов от нуля до половины прямого угла достаточно в степенном ряде сохранить члены до включительно и приближенно заменить многочленом

При численном решении задач математического анализа, в которых нахождению подлежит некоторая функция, приходится тем или иным способом заменять эту задачу другой задачей о нахождении нескольких численных параметров, знание которых позволяет приближенно вычислить неизвестную функцию. Поясним это на примерах.

Пусть на отрезке нужно решить граничную задачу для дифференциального уравнения

с граничными условиями . В одном из возможных приемов решения, в методе Галеркина, исходят из некоторой, системы линейно независимых функций удовлетворяющих граничным условиям (глава VI, § 5). Такую систему выбирдют «пол-ной» в том смысле, что среди интегрируемых на функций ортогональной ко всем будет только функция, равная нулю во всех (точнее, «почти во всех») точках. Условие что удовлетворяет дифференциальному уравнению (2), можно записать в форме требований ортогональности

Допустим, что решение задачи можно разложить в ряд по

Нахождению здесь подлежат коэффициенты При произвольных сумма ряда (4) будет удовлетворять граничным условиям. Остается выбрать так, чтобы выполнялись равенства (3). Коэффициентов бесконечное множество, и вычислить их все, вообще говоря, невозможно. Для упрощения сохраним в правой части (4) лишь конечное число слагаемых и положим приближенно

Удовлетворить равенствам (3) для всех мы не сможем, так как располагаем только произвольными параметрами Поэтому мы вынуждены отказаться от точного решения дифференциального уравнения (2). Но следует ожидать, что сумма (5) будет удовлетворять этому дифференциальному уравнению с малой погрешностью, если будет взято достаточно большим и условие (3) удовлетворено для первых функций Это приводит к уравнениям, фигурирующим в методе Галеркина

Найдя из этих уравнений мы построим приближенное выражение для функции (5).

Аналогично упрощаются формулы при решении вариационных задач по методу Ритца, в приближенном гармоническом анализе функций и во многих других вопросах.

Мы укажем еще один пример упрощения уравнения. Пусть нужно найти функцию у от одного или нескольких аргументов путем решения какого-либо функционального уравнения, например дифференциального или интегрального. В качестве параметров, определяющих функцию у, может быть выбрана совокупность ее значений в некоторой системе точек (на сетке).

Функциональное уравнение мы должны заменить системой численных уравнений относительно неизвестных величин Такую замену, как правило, можно выполнить многими способами. При этом всегда следует позаботиться, чтобы решение численной системы достаточно мало отличалось от решения функционального уравнения.

Вот несколько примеров такой замены. Решая дифференциальное уравнение первого порядка методом Эйлера, мы заменяем это уравнение рекурсионной численной схемой, позволяющей приближенно находить следующее значение неизвестной функции по предыдущему значению (глава V, § 5):

При приближенном решении уравнения Лапласа методом сеток это уравнение заменяют линейной алгебраической системой (глава VI, § 5)

Рассмотрим еще один пример такого рода. Пусть требуется численно решить интегральное уравнение

Точки, в которых мы хотим найти значения неизвестной функции обозначим через Для составления системы численных уравнений, заменяющих (6), потребуем выполнения этого равенства не для всех х из промежутка , а только в точках

Затем заменим интеграл какой-либо приближенной квадратурной суммой (по формуле трапеций Симпсона или какой-либо другой) с узлами

Для определения искомых значений получим систему линейных алгебраических уравнений

Заметим, что во всех рассмотренных методах разыскание неизвестной функции заменялось разысканием некоторых параметров, определяющих ее приближенно. Поэтому точность этих методов зависит от того, насколько хорошо функция определяется этой системой параметров, найример, насколько хорошо она может быть аппроксимирована выражением вида (7) или представлена через свои значения в некоторой системе точек. Такого рода вопросы относятся к особому отделу математики, носящему название теории приближения функций (см. главу XII). Из предыдущего видно, что теория приближений имеет очень большое значение для прикладной математики.