§ 3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Интерполирование функций получило широкое применение в вопросах, связанных с приближенным вычислением интегралов. Для примера выведем одну формулу приближенного выражения определенного интеграла — формулу Симпсона, которая получила особенно большое распространение в прикладном анализе.

Рис. 5.

Пусть требуется вычислить приближенно определенный интеграл на отрезке от функции изображенной графически на рис. 5. Величина его точно равна площади криволинейной трапеции Пусть С есть точка нашего графика с абсциссой Проведем через точки параболу 2-й степени. Как мы знаем из предыдущего параграфа, эта парабола есть график многочлена 2-й степени, определяемого равенством

где

Употребляя терминологию, которой мы пользовались в предыдущем параграфе, можно сказать, что многочлен 2-й степени интерполирует точках, имеющих абсциссы а, Если график функции на отрезке изменяется плавно и сам отрезок невелик, то многочлен всюду будет мало отличаться от это в свою очередь приведет к тому, что мало будут отличаться и их интегралы, взятые на На этом основании мы можем считать эти интегралы приближенно равными

или, как говорят, второй интеграл считать приближением первого. Простые вычисления, которые предоставляем проделать читателю, показывают, что

Отсюда

Итак, наш определенный интеграл можно вычислить но следующей приближенной формуле:

Это и есть формула Симпсона.

Вычислим для примера по этой формуле интеграл от на отрезке Тогда

и, следовательно, . С другой стороны, этот же интеграл мы можем найти точно

Ошибка не превышает 0,1.

Если интервал разбить на две равные части и к каждой из них отдельно применить нашу формулу, то получится

Таким образом,

ошибка уже теперь гораздо меньше, примерно 0,002.

На практике, чтобы приближенно вычислить определенный интеграл от функции на отрезке этот отрезок делят на четное число частей точками и последовательно применяют формулу Симпсона сначала к отрезку затем к отрезку . В результате получим следующую общую формулу Симпсона:

Приведем классическую оценку для нее. Если функция на отрезке имеет четвертую производную, удовлетворяющую неравенству то имеет место следующая оценка:

Здесь через мы обозначили правую часть формулы (6). В этом случае ошибка будет иметь порядок

Мы могли бы разделить отрезок на равных частей и считать за приближение интеграла сумму площадей, заштрихованных на рис. 6 прямоугольников. Тогда мы получили бы приближенную формулу прямоугольников

Можно показать, что порядок ошибки при этом будет если только функция имеет ограниченную на отрезке вторую производную. Можно также за приближение взять сумму площадей заштрихованных на рис. 7 трапеций, и получить формулу трапеций

с порядком ошибки если функция имеет ограниченную вторую производную.

Рис. 6.

Рис. 7.

Обычно говорят, что формула Симпсона точнее формул трапеций и прямоугольников. Эти слова требуют разъяснения, иначе они неверны. Если мы знаем только, что функция имеет первую производную, то гарантированный порядок приближения интеграла по трем формулам одинаково равен в этом случае формула Симпсона существенных преимуществ перед формулами прямоугольников и трапеций не имеет. Для функций, имеющих вторую производную, можно уже гарантировать приближение по формулам трапеций и Симпсона порядка Если же функция имеет третью и четвертую производную, то порядок ошибки продолжает быть равным для формул прямоугольников и трапеций, а для формулы Симпсона он соответственно равен Но степень для формулы Симпсона в свою очередь оказывается

пределом, именно: для функций, имеющих более высокую производную, чем четвертая, порядок продолжает оставаться равным Так что, если нам задана функция, имеющая производную порядка, и мы хотим использовать это обстоятельство, чтобы получить приближение порядка потребуется новый, отличный от формулы Симпсона метод приближения определенного интеграла. Чтобы понять, как он должен быть устроен, отметим следующее.

Формулы трапеций и прямоугольников, как легко проверить, точны для многочленов 1-й степени; это значит, что подстановка в (9) функции где А и В — постоянные, приводит к точному равенству. В этом же смысле формула Симпсона оказывается точной для многочленов 3-й степени Дело именно в этих свойствах. Представим себе, что мы отрезок разделим равных частей и к каждой части применим один и тот же приближенный метод интегрирования, точный для многочленов степени Тогда ошибка приближения для всякой функции, имеющей ограниченную производную, будет иметь порядок и если эта функция не есть многочлен степени то этот порядок не может быть повышен даже для функций, имеющих производные более высокого порядка.

Мы привели соображение, подчеркивающее важность задачи нахождения возможно простых приближенных методов интегрирования, точных для многочленов данной степени. Этому вопросу, которому в настоящее время посвящена большая литература, уделяли внимание математики с давних времен. Мы здесь остановимся только на нескольких классических результатах.

Зададим функцию Спрашивается, как надо расположить на отрезке [-1, 1] узлы и выбрать число К, чтобы выполнялось равенство

каков бы ни был произвольный многочлен степени .

Оказывается, что при - задача имеет положительное решение, если — нули многочлена носящего имя Чебышева (см. § 5).

Для Чебышев дал решение задачи при При эта задача не имеет решения: узлы можно найти, но они комплексны. При она снова имеет решение. Однако, как показал С. П. Бернштейн, при всяком 9 задача опять не имеет решения (узлы находятся вне отрезка

Квадратурную формулу, точную для многочленов степени, очень просто получить при помощи формулы Лагранжа (4). Если проинтегрировать ее левую и правую части на отрезке получим

где

Равенство (10), таким образом, имеет место для всех многочленов степени и, следовательно, квадратурная формула

точна для всех многочленов степени

Б случае, когда

эта формула, как мы знаем, обращается в формулу Симпсона.

Расположение узлов в пределах отрезка мы можем изменять. Каждому расположению узлов будет соответствонать своя квадратурная формула.

Гаусс (знаменитый немецкий математик прошлого столетия) показал, что узлы можно расположить так, что формула будет точной для всех многочленов не только степени но и степени Многочлен

степени составленный при помощи узлов Гаусса, обладает замечательным свойством: каков бы ни был многочлен степени меныпей, чем имеет место равенство

Гаким образом, многочлен ортогонален на отрезке ко всем многочленам степени не выше, чем Многочлены носят название многочленов Лежандра (соответствующих отрезку ).