Касательная.
Касательная к плоской кривой уже рассматривалась в главе II (том 1). Ее смысл для пространственной кривой совершенно аналогичен. Чтобы определить касательную в точке А, на кривой берут точку X, отличную от А, и проводят секущую 
Затем точку X приближают по кривой к А. Если при этом секущая 
стремится к некоторому предельному положению, то имеющая это предельное положение прямая и называется касательной в точке А а.
Если различать начало и конец кривой, а тем самым и порядок ее прохождения, то можно говорить о том, какая из точек А и X является первой, какая второй.
Рис. 6.
Рис. 7.
(Так, например, при движении поезда из Москвы во Владивосток, Омск, очевидно, предшествует Иркутску.) В соответствии с этим можно на секущей указать стрелкой направление от первой точки ко второй. Предел таких «направленных секущих» даст нам «направленную касательную» (рис. 6). Стрелка на ней указывает, в какую сторону происходит движение вдоль кривой в момент прохождения точки А. При движении точки по кривой скорость движения в каждый момент направлена по касательной к проходимой кривой.
Касательная обладает одним важным геометрическим свойством: вблизи точки касания кривая уклоняется от этой прямой в известном смысле меньше, чем от любой другой прямой. При этом расстояние точки кривой от касательной весьма мало в сравнении с ее расстоянием до точки касания. Точнее, отношение (рис. 7) стремится
к нулю, когда X стремится к 
Поэтому на малом отрезке кривая может заменяться касательной с ошибкой, малой в сравнении с размерами взятого отрезка. Это свойство касательной часто используют, заменяя для упрощения выводов малые отрезки кривых отрезками касательных. В соединении с предельным переходом такой прием дает вполне точные результаты.
Интересно проследить, что для кривой, не являющейся прямой, т. е. не имевшей в прежнем смысле направления, мы, сопоставляя ее с прямой, определили ее направление в каждой точке. Тут понятие направления расширилось: оно приобрело смысл там, где раньше его не имело.
Это новое понятие направления отражает реальную природу движения по кривой: оно в каждый момент имеет направление и вместе с тем непрерывно изменяет его.
Рис. 8.
