Приложения к другим задачам математической физики.

Приложения теории функций комплексного переменного получили широкое распространение не только в теории крыла, но и во многих других задачах гидродинамики.

Однако область приложения теории функций не ограничивается гидродинамикой: она гораздо шире. Ее методы находят широкое использование во многих задачах математической физики. Чтобы это пояснить, вернемся к условиям Коши — Римана

и выведем из них уравнение, которому удовлетворяет действительная часть аналитической функции комплексного переменного. Если первое из этих уравнений продифференцировать по х, а второе — по у и сложить, то получим

Это уравнение (мы с ним уже встречались в главе VI) носит название уравнения Лапласа. Большое число задач физики и механики связано с уравнением Лапласа. Например, если в некотором теле установилось тепловое равновесие, то температура удовлетворяет уравнению Лапласа. Изучение поля тяготения или электростатического поля связано с этим уравнением. При исследовании фильтрации жидкости через пористые среды получаем также уравнение Лапласа. Во всех этих задачах, связанных с решением уравнения Лапласа, методы теории функций нашли широкие приложения.

Не только исследование уравнения Лапласа, но также исследование более общих уравнений математической физики может быть связано с теорией функций комплексного переменного. Одним из наиболее замечательных примеров такого рода является плоская задача теории упругости. Основы применения функций комплексного переменного к этой области были заложены советскими учеными Г. В. Колосовым и Н. И. Мусхелишвили.