§ 7. КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Важное место в общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений занимает качественная теория дифференциальных уравнений. Она возникла в конце прошлого века в связи с потребностями механики и астрономии.

Во многих прикладных задачах требуется установить характер решения дифференциального уравнения, описывающего некоторый физический процесс, определить свойства его решений для конечного или бесконечного промежутка изменения независимого переменного. Так, например, в небесной механике, изучающей движения небесных тел, важно иметь сведения о поведении решений дифференциальных уравнений, описывающих движение планет или других небесных тел, при неограниченном возрастании времени.

Как мы говорили выше, лишь для немногих особо простых уравнений общее решение может быть выражено при помощи интегралов от известных функций. В связи с этим возникла задача изучения свойств решений дифференциального уравнения по самому уравнению. Так как решение дифференциального уравнения представляется в виде кривой на плоскости или в пространстве, то возникла задача об исследовании свойств интегральных кривых, их расположения, их поведения в окрестности особых точек. Будут ли они, например, расположены в ограниченной части плоскости или иметь ветви, уходящие к бесконечности, будут ли среди них замкнутые кривые и т. д. Исследование таких вопросов и составляет задачу качественной теории дифференциальных уравнений.

Основоположниками качественной теории дифференциальных уравнений являются русский математик А. М. Ляпунов и французский математик А. Пуанкаре.

Роль советской науки в качественной теории дифференциальных уравнений заключается не только в том, что советскими учеными разрабатывались важные теоретические вопросы, но также и в том, что в СССР впервые широко использованы глубокие результаты качественной теории для решения вопросов физики и механики.

В предыдущем параграфе мы подробно рассмотрели один из важных вопросов качественной теории — вопрос о характере расположения

интегральных кривых в окрестности особой точки. Остановимся теперь на некоторых других основных вопросах качественной теории.

Устойчивость.

В примерах, рассмотренных в начале главы, вопрос об устойчивости или неустойчивости равновесия системы решается просто, без исследований дифференциальных уравнений, на основании физических соображений. Так, в примере 3 очевидно, что если маятник, находящийся в состоянии равновесия ОА, переведен при помощи какой-либо внешней силы в некоторое близкое положение т. е. мало изменены начальные условия, то при дальнейшем движении маятник не может далеко отклониться от положения равновесия, и это отклонение будет тем меньше, чем меньше было первоначальное отклонение , т. е. в этом случае положение равновесия будет устойчивым.

В других более сложных случаях вопрос об устойчивости состояния равновесия решается гораздо сложнее, и притом только при помощи исследования соответствующих дифференциальных уравнений. С вопросом об устойчивости равновесия тесно связан вопрос об устойчивости движения. Основоположные результаты в этой области принадлежат А. М. Ляпунову.

Пусть некоторый физический процесс описывается системой уравнений

Мы будем для простоты рассматривать только систему двух дифференциальных уравнений, хотя наши дальнейшие выводы остаются справедливыми и для систем с большим числом уравнений. Каждое частное решение системы (57), которое составляется из двух функций мы будем иногда в этом параграфе, следуя А. М. Ляпунову, называть движением. Будем предполагать, что имеют непрерывные частные производные. Доказано, что в этом случае решение системы дифференциальных уравнений (57) определяется однозначно, если в какой-нибудь момент времени задать значения функций

Будем обозначать через решение системы уравнений (57), удовлетворяющее начальным условиям

Решение называется устойчивым по Ляпунову, если для всех функции изменятся как угодно мало, если достаточно мало изменить начальные значения

Более точно: для решения, устойчивого по Ляпунову, разности

можно сделать меньше любого заранее заданного числа для всех моментов времени если только числа взять любыми, но достаточно малыми по абсолютной величине.

Всякое движение, не являющееся устойчивым по Ляпунову, называется неустойчивым.

Исследуемое движение Ляпунов называет невозмущенным, а движение с близкими начальными условиями называет возмущенным движением. Таким образом, устойчивость по Ляпунову невозмущенного движения означает, что при всех возмущенное движение должно мало отличаться от невозмущенного.

Устойчивость равновесия есть частный случай устойчивости движения, соответствующий тому случаю, когда невозмущенное движение

Обратно: вопрос об устойчивости какого-либо движения системы (57) можно свести к вопросу об устойчивости равновесия для некоторой системы дифференциальных уравнений. Для этого вместо прежних неизвестных функций в системе (57) введем новые неизвестные функции

В преобразованной таким образом системе (57) движению будет соответствовать движение т. е. состояние равновесия. В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что преобразование (59) уже совершено, и будем рассматривать устойчивость по Ляпунову только решения

Условие устойчивости по Ляпунову означает теперь, что на плоскости траектория возмущенного движения не выходит ни при каком из квадрата со сторонами 2в, параллельными координатным осям, и с центром в точке если достаточно малы.

Нас будут интересовать те случаи, когда мы, не умоя интегрировать систему (57), можем тем не менее делать заключения об устойчивости или неустойчивости невозмущенного движения. Весьма важные для практики вопросы об устойчивости движения снаряда, самолета, важные для небесной механики вопросы устойчивости орбит, по которым движутся планеты и другие небесные тела, сводятся к такого рода исследованиям.

Предположим, что функции можно представить в виде

где постоянные, а — такие функции от что

где М — некоторая положительная постоянная.

Если в системе (57), пользуясь представлением (60), отбросить то получится система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

которая называется системой первого приближения для нелинейной системы (57).

До А. М. Ляпунова при исследовании вопроса об устойчивости в основном ограничивались изучением устойчивости в первом приближении, т. е. изучением устойчивости для системы (62), считая полученный результат разрешающим вопрос об устойчивости и для основной нелинейной системы (57). А. М. Ляпунов первый показал, что в общем случае такое заключение не верно. С другой стороны, он дал ряд весьма широких услобий, при выполнении которых вопрос об устойчивости для нелинейных систем до конца решается по первому приближению. Одним из таких условий является следующее. Если действительные части всех корней уравнения

отрицательны и для функций выполнены условия (61), то решение устойчиво по Ляпунову. Если действительная часть хотя бы одного корня положительна, то при выполнении условия (61) решение будет неустойчивым. А. М. Ляпунов дал также ряд других достаточных условий устойчивости и неустойчивости движения. Работы А. М. Ляпунова с большим успехом продолжали советские математики.

Если правые части уравнений (57) не зависят от то, разделив первое уравнение системы (57) на второе, получим

Для этого уравнения начало координат будет особой точкой. В случае устойчивого равновесия в этой точке может быть фокус, узел или центр, но не может быть седла.

Таким образом, по характеру особой точки можно судить об устойчивости или неустойчивости состояния равновесия.