§ 5. РАЗЛОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ НА СУММУ ДВУХ КВАДРАТОВ. ЦЕЛЫЕ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Важность изучения простых чисел определяется в значительной степени тем, что они, повидимому, играют центральную роль в большинстве теоретико-числовых закономерностей: зачастую вопросы, на первый взгляд далекие от теории делимости, оказываются при более тщательном рассмотрении тесно связанными с теорией простых чисел. Поясним это следующим примером.

Одной из задач теории чисел является задача о том, какие натуральные числа разлагаются на сумму двух квадратов целых чисел (не обязательно отличных от нуля).

Непосредственно в ряде чисел, являющихся суммами двух квадратов, закономерности не видно. Например, в ряде чисел от 1 до 50 суммами двух квадратов являются числа 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 40, 41, 45, 49, 50 — последовательность довольно причудливая.

Французский математик XVII в. Ферма заметил, что все дело в том, каким образом представляемое число разлагается на простые множители, т. е. вопрос относится собственно к теории простых чисел.

Простые числа, кроме нечетные и поэтому при делении на 4 могут давать в остатке либо 1 (простые числа вида либо 3 (простые числа вида

1. Простое число есть сумма двух квадратов тогда и только тогда, когда

Доказательство того, что числа вида не могут являться суммами двух квадратов, почти очевидно; действительно, сумма квадратов двух четных чисел делится на 4, сумма квадратов двух нечетных чисел дает при делении на 4 в остатке 2, а сумма квадратов четного и нечетного чисел дает в остатке 1.

Сделаем несколько предварительных замечаний о простых числах, именно докажем, что если просто, то делится на Числа, не делящиеся на , дают в остатках при делении на числа Возьмем целое и будем умножать на в остатках от деления построенных таким образом произведений на получаются, как нетрудно доказать, все те же числа, но, вообще говоря, в другом порядке. В частности, среди остатков будет 1, т. е. для каждого найдется такое что Заметим, что только если или Действительно, если то делится на ; для чисел —1 это возможно лишь при Найдем остаток от деления при делении на . В этом произведении для каждого сомножителя кроме 1 и найдется свое отличное от него такое, что имеет остаток 1. Поэтому будет иметь тот же остаток от деления на , как если бы в нем было всего два сомножителя 1 и т. е. имеет остаток Таким образом, делится на .

Пусть теперь Далее напишем

Выражение, стоящее во второй фигурной скобке, будет иметь при делении на остаток но —-четное число. Поэтому в рассматриваемом случае тоже делится на . Обозначим через А остаток от деления на Р? Очевидно, что и делится на .

Рассмотрим выражение , в котором независимо пробегают числа — наибольшее целое число, не превосходящее Тогда получится числовых значений (различных или совпадающих иногда). Так как различных остатков от деления на может быть лишь а числовых значений имеется , то найдутся две различные пары такие, что будут иметь одинаковый остаток от деления на , т. е. делится на . Положим: Очевидно, Раз делится на , то будет делиться на ; но так как

делится на , то будет делиться на число Поэтому величина равная делится на . Но Отсюда заключаем, что либо 0, либо Первое невозможно, так как пары различны. Итак, простое число вида представляется в виде суммы двух квадратов.

2. Обратимся к разложению произвольных целых чисел на сумму двух квадратов. Легко проверяется тождество

Это тождество показывает, что произведение двух целых чисел, являющихся суммами квадратов, есть снова сумма квадратов. Отсюда следует, что произведение любых степеней простых чисел вида и 2 есть сумма двух квадратов. Так как, умножая сумму двух квадратов на квадрат, получаем сумму двух квадратов, то любое число, в котором простые множители вида входят в четных степенях, является суммой двух квадратов.

3. Покажем, что если простое число вида войдет в число в нечетной степени, то число не может быть разложено на сумму двух квадратов. Этим самым поставленный вопрос будет полностью исчерпан.

Будем рассматривать комплексные числа вида где а и — обыкновенные целые числа. Такие комплексные числа будем называть целыми комплексными числами. Если целое число есть сумма двух квадратов то а (через а обозначаем комплексно сопряженное к а число), т. е. разлагается в области целых комплексных чисел на комплексно сопряженные множители.

В области целых комплексных чисел можно построить теорию делимости, совершенно аналогичную теории делимости в области обычных целых чисел. Мы будем говорить, что целое комплексное число а делится на целое комплексное число , если есть снова целое комплексное число. Существует лишь четыре целых комплексных числа которые делят 1 — это Мы будем говорить, что целое комплексное число есть простое число, если оно не имеет других делителей, кроме Теперь получила новый смысл задача, решенная в пункте 1: там выясняется, что простые числа вида и число. 2 перестают быть простыми в области целых комплексных чисел. Легко установить, что простые числа вида остаются простыми. Действительно, если бы то аофр. Но обыкновенные целые положительные числа; ибо простые числа вида не являются суммами квадратов. Значит, может быть либо либо не имеет делимых.

Для целых комплексных чисел справедлива теорема об однозначном разложении на простые множители. Однозначность получается, конечно, если отвлечься от порядка сомножителей и от их комбинации о числами

Пусть есть сумма квадратов, Пусть — простое число вида . Подсчитаем, в какой степени входит в число . В силу того, что остается простым и в области целых комплексных чисел, достаточно подсчитать, в какой степени входит в и в . Но эти степени равны и поэтому входит в обязательно в четной степени, что и требовалось доказать.

Открытие того, что содержательная теория делимости возможна не только в области целых рациональных чисел (как мы видели, она имеет место в области целых комплексных чисел), сильно расширило кругозор математиков XIX в. Разработка этой идеи потребовала создания новых общих понятий в математике, как, например, понятия кольца, идеала. Значимость этих понятий в настоящее время далеко переросла рамки теории чисел.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)