Функция Ln z.

Мы не будем здесь проводить исследования всех элементарных функций комплексного переменного. Однако для нас важно будет познакомиться еще со свойствами функции Так же как в действительной области, полагаем

если

Чтобы проанализировать функцию запишем число z в тригонометрической форме

Применяя теорему сложения к получим

Сравнение двух полученных выражений для z дает;

Имея в виду, что и и действительные числа, из формулы (а) выводим

где — обычное значение натурального логарифма действительного числа. Равенство может выполняться только в случае, если

а для этого должны отличаться на число, кратное

причем при любом целом равенство будет выполняться. На основании полученных выражений для и и

Рис. 4

Формула (25) определяет функцию для всех значений комплексного числа отличных от нуля. Она дает определение логарифма не только для положительных, но и для отрицательных и комплексных чисел.

Полученное выражение для функции содержит произвольное целое число Это значит, что есть многозначная функция. При любом значении получаем одно из возможных значений функции Если мы фиксируем значение то получим одно из возможных значений этой функции.

Однако различные значения оказывается, органически связаны между собой. В самом деле, фиксируем, например, в точке значение . Пусть теперь непрерывно движется по замкнутой кривой С, окружающей начало координат и возвращающейся в точку (рис. 4). При движении z полярный угол будет непрерывно возрастать и, после того как точка z пройдет весь замкнутый контур, увеличится на Таким образом, фиксировав в значение логарифма

и изменяя это значение непрерывно при движении z вдоль замкнутой кривой, окружающей начало координат, мы вернемся в точку с другим значением функции

Это убеждает нас в том, что можно непрерывным образом перейти от любого значения к другому. Для этого надо, чтобы точка непрерывным образом обошла начало координат нужное число раз. Точка называется точкой ветвления для функции

Если мы хотим ограничиться рассмотрением лишь одного значения функции мы должны запретить точке z описывать замкнутые кривые, окружающие точку Это можно сделать, проведя из начала координат в бесконечность непрерывную линию и запретив точке пересекать эту линию, называемую разрезом. Если z будет изменяться в плоскости с разрезом, то уже нельзя получить непрерывного перехода от одного значения к другому, и, исходя из определенного значения логарифма в какой-нибудь точке мы в каждой точке получим лишь одно значение логарифма. Такое выделенное значение функции называется ее однозначной ветвью.

Например, если разрез проведен вдоль отрицательной части оси мы получим однозначные ветви ограничивая изменение аргумента в пределах

где А — произвольное целое число.

Рассматривая однозначную ветвь логарифма, мы можем изучить его дифференцируемость. Полагая

легко проверить, что удовлетворяет условиям Коши — Римана, а производная, вычисленная, например, по формуле (22), будет равна

Подчеркнем, что производная уже есть однозначная функция.