Об аналитическом представлении функций.

Мы видели выше, что в окрестности всякой точки, где функция дифференцируема, она может быть определена с помощью степенного ряда. Для целой функции степенной ряд сходится во всей плоскости и дает аналитическое выражение функции всюду, где она определена. В случае, если функция не является целой, ряд Тейлора, как мы знаем, сходится лишь в круге, окружность которого проходит через ближайшую особую точку функции. Таким образом, степенной ряд не позволяет вычислить функцию всюду, где она определена, и, следовательно, аналитическая функция не может быть задана во всей области ее определения степенным рядом. Для мероморфной функции аналитическим выражением, дающим функцию во всей ее области определения, является разложение по главным частям.

Если функция не целая, но определена в некотором круге или если мы имеем функцию, определенную в некоторой области, но хотим ее изучать лишь в некотором круге, то для изображения ее может служить ряд Тейлора. В случае, когда мы изучаем функцию в областях, отличных круга по форме, встает вопрос о возможности найти аналитическое выражение функции, пригодное для ее изображения во всей этой области. Степенной ряд, дающий выражение аналитической функции в круге, имеет своими членами простейшие многочлены Естественно возникает вопрос, нельзя ли в произвольной области аналитическую функцию разложить в ряд многочленов. Тогда каждый член ряда опять сможет быть вычислен арифметическими операциями, и мы получим аппарат для представления функции, снова исходйщий из

простейших операций арифметики. Общий ответ на поставленную задачу дается следующей теоремой:

Аналитическая функция, заданная в произвольной области, граница которой состоит из одной линии, может быть разложена в ряд многочленов

Сформулированная теорема дает только общий ответ на вопрос о возможности разложения функции в произвольной области в ряд многочленов. Однако эта теорема еще не позволяет построить ряд по заданной функции, как это имеет место для ряда Тейлора. Эта теорема скорее лишь ставит вопрос о разложении функций в ряды многочленов, а Не решает этот вопрос. Вопросы о построении ряда многочленов по заданной функции или некоторым ее свойствам, вопросы построения наиболее быстро сходящихся рядов и рядов, тесно связанных с характером поведения самой функции, вопросы изучения структуры функции по заданному ряду многочленов, представляющему функцию, составляют широко развитую теорию приближения функций рядами многочленов. В создании этой теории весьма большая роль принадлежит советским математикам, получившим в этом направлении ряд фундаментальных результатов.