Квазиконформные отображения.

Конформные отображения тесно связаны с изучением аналитических функций или с изучением пары функций, удовлетворяющих условиям Коши—Римана

Во многих задачах математической физики встречаются более общие классы систем дифференциальных уравнений, с которыми также могут быть связаны отображения одной плоскости на другую, обладающие определенными геометрическими свойствами в окрестности каждой точки плоскости Чтобы пояснить это, рассмотрим следующий пример системы дифференциальных уравнений

Если то эта система вырождается в систему Коши — Римана. В общем случае произвольной функции мы можем также каждое решение системы (38) толковать как отображение плоскости на плоскость Рассмотрим геометрические свойства нашего отображения в окрестности точки Для этого, считая малой окрестность точки сохраним лишь первые члены в разложении функций и и по и будем рассматривать отображение как аффинное

Если функции и удовлетворяют системе уравнений (38), то для этого аффинного преобразования имеет место следующее свойство.

Эллипсы с центром в точке с главными осями, параллельными осям координат, и отношением полуосей

на плоскости переходят в окружности с центром в точке

Докажем это предложение. Уравнение окружности с центром на плоскости будет

Подставляя сюда выражения для через х и у, получим уравнение соответствующей кривой на плоскости

Воспользуемся теперь уравнениями (38), чтобы выразить производные от функции через производные от функции и. Тогда получим

К ели положим

то уравнение приведется к виду

Таким образом, кривая, которая переходит в круг, есть действительно эллипс с указанными выше свойствами.

Если рассматривать не аффинное преобразование, даваемое первыми членами разложения, а точное, то найденное свойство отображения будет выполняться тем точнее, чем меньше размеры полуосей эллипса.

Можно сказать, что это свойство будет выполняться для бесконечно малых эллипсов.

Таким образом, из уравнений (38) вытекает, что в каждой точке задано отношение полуосей и направление полуосей бесконечно малого

эллипса, переходящего в круг. Оказывается, что это геометрическое свойство вполне характеризует систему дифференциальных уравнений (38), т. е. если функции и и реализуют отображение, обладающее указанным геометрическим свойством, то они удовлетворяют этой системе. Таким образом, задача исследования решения уравнений (38) равносильна задаче изучения отображений, обладающих указанным свойством.

Отметим, в частности, что для уравнений Коши — Римана это свойство формулируется следующим образом.

Бесконечно малый круг с центром в точке переходит в бесконечно малый круг с центром в точке

Весьма широкий класс уравнений математической физики может быть сведен к изучению отображений со следующими геометрическими свойствами.

Для каждой точки плоскости аргументов задано направление полуосей и отношение полуосей двух эллипсов. Требуется построить отображение плоскости на плоскость так, чтобы бесконечно малые эллипсы первого семейства переходили в бесконечно малые эллипсы второго семейства с центрами в точках

Рассмотрение отображений, Связанных с такими общими системами уравнений, было введено советский математиком М. А. Лаврентьевым. Эти отображения получили название квазиконформных отображений. Идея изучения отображений, определяемых системами дифференциальных уравнений, дала возможность распространить методы теории аналитических функций на весьма обширные классы задач. М. А. Лаврентьевым и его учениками было проведено исследование квазиконформных отображений и были получены многочисленные приложения этих исследований к различным задачам математической физики, механики и геометрии. Интересно отметить, что рассмотрение квазиконформных отображений оказалось весьма плодотворным и в самой теории аналитических функций.

Конечно, здесь мы не можем остановиться на всех разнообразных направлениях применения геометрического метода в теории функций комплексного переменного.