§ 6. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ МАРКОВСКОГО ТИПА

А. А. Маркову принадлежит заслуга построения вероятностной схемыг непосредственно обобщающей детерминистическую схему, записанную в § 5 при помощи уравнения

Правда, Марков рассмотрел только случай, когда фазовое пространство изучаемой системы состоит лишь из конечного числа состояний и изучал изменение состояния системы лишь при разделении времени t на дискретные шаги. Но в этой крайне схематизированной модели он сумел уловить ряд фундаментальных закономерностей.

Вместо функции однозначно определяющей состояние в момент времени по состоянию в момент времени Марков вводит вероятности

получения состояния в момент времени t при условии, что в момент времени имело место состояние Эти вероятности Марков связывает для любых трех моментов времени

соотношением, которое можно назвать основным уравнением марковских процессов

Когда фазовое пространство является непрерывным многообразием, наиболее типичен случай существования плотностей вероятности перехода из состояния в состояние за промежуток времени . В этом случае вероятность перехода за промежуток времени между моментами из состояния в какое-либо из состояний принадлежащих области фазового пространства записывается в виде

где — элемент объема в фазовом пространстве. Для плотностей вероятности основное уравнение (33) приобретает вид

Уравнение (35) решить довольно трудно, но при известных ограничениях из него можно вывести дифференциальные уравнения в частных производных, которые легче поддаются изучению. Некоторые из этих уравнений были получены из нестрогих физических соображений физиками Фоккером и Планком. В полном виде теория так называемых стохастических дифференциальных уравнений была построена советскими авторами . Бернштейн, А. Н. Колмогоров, И. Г. Петровский, А. Я. Хинчин и др.).

Выписывать здесь эти уравнения мы не будем.

Метод стохастических дифференциальных уравнений позволяет, например, легко решить задачу о движении в спокойной атмосфере очень малого тела, для которого средняя скорость его падения с значительно меньше скорости его «броуновского движения», вызываемого тем, что из-за малости его размеров толчки молекул воздуха на противоположные его стороны не вполне уравновешиваются.

Пусть с — средняя скорость падения, — так называемый коэффициент диффузии. Если предположить, что на земной поверхности частица не задерживается, а «отражается», т. е. под действием броуновских сил вновь отправляется в путешествие по атмосфере, и допустить, что в момент времени частица находится на высоте

то плотность вероятности ее нахождения в момент времени t на высоте z выразится формулой

На рис. 4 изображено, как могут меняться кривые в последовательные моменты времени

Рис. 4.

Рис. 5.

Мы видим, что в среднем высота частицы убывает, а положение ее становится все более неопределенным (все более «случайным»). Самое интересное заключается в том, что при любых и при

т. е. существует предельное распределение для высот частицы, и математическое ожидание высоты расположения частицы с возрастанием t стремится к положительному пределу

Таким образом, несмотря на то, что наша частица, находясь над поверхностью земли, все время имеет тенденцию падать под действием силы тяжести, она при неограниченном продолжении этого процесса

(блуждания в атмосфере) будет в среднем находиться на определенной положительной высоте. Если бы мы взяли начальное меньшим, чем z, то оказалось бы, что по истечении достаточно большого промежутка времени среднее положение частицы будет выше начального, как это изображено на рис. 5, где .

Для отдельной частицы средние значения z, о которых идет речь, являются лишь математическими ожиданиями, но в силу закона больших чисел для большого числа частиц они будут осуществляться реально: плотность расположения такого рода частиц по высоте будет следовать указанным закономерностям и, в частности, по истечении достаточно большого промежутка времени стабилизируется в соответствии с формулой (36).

Все сказанное непосредственно применимо лишь к примешанным к воздуху в малой концентрации газам, дымам и т. п., так как величины с и D предполагались определенными заранее заданным состоянием атмосферы. Однако с некоторыми усложнениями теория применима к взаимной диффузии газов, составляющих атмосферу, и к возникающим на основе этой диффузии распределениям их плотностей по высоте.

С увеличением размеров частиц отношение возрастает, и благодаря этому процесс их перемещения вместо диффузионного характера приобретает характер закономерного падения по законам, рассмотренным в § 5. Теория позволяет проследить все переходы между чисто диффузным движением и таким закономерным падением.

Задача движения взвешенных в атмосфере частиц под действием турбулентного перемешивания более сложна, но в принципе тоже может быть подчинена аналогичным вероятностным методам.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)