- замкнутость;
— ассоциативные законы;
- коммутативные законы;
- дистрибутивный закон;
существование единичных элементов относительно операций сложения и умножения (для операции сложения единичный элемент называется нулем, а для операции умножения — единицей);
каждый элемент а поля
обладает противоположным элементом
относительно операции сложения и обратным элементом
относительно операции умножения (за исключением нулевого элемента):
На основании этих аксиом можно доказать, что каждый элемент поля имеет единственный противоположный и единственный обратный элементы, а также, что
Наиболее известными примерами полей являются множество рациональных и множество действительных чисел, для которых операция
означает арифметическое сложение чисел, а операция
арифметическое умножение. Однако операции
могут иметь и совершенно иной смысл, так как для определения поля имеет значение только выполнение всех вышеперечисленных аксиом.
В теории цифровых автоматов могут быть использованы только конечные поля, т. е. поля, множество элементов которых конечно. Широкое применение в теории и практике проектирования цифровых устройств находят поля Галуа
в которых в качестве бинарных операций
используются операции сложения и умножения целых чисел по модулю
где
простое число [13, 16]. Такие поля содержат
элементов:
Напомним, что число X по модулю
равно остатку от деления данного числа на
Правила сложения и умножения по модулю
определяются табл. 1.7, из которой видно, что операция
совпадает с логической операцией сумма по модулю два
а операция
с логической операцией конъюнкция
Это и является основой для использования алгебраических методов при проектировании линейных цифровых автоматов, КС которых описываются линейными функциями
где
или
Данные функции удовлетворяют
Таблица 1.7. (см. скан) Сложение и умножение по модулю 2
Таблица 1.8. (см. скан) Сложение и умножение по модулю 3
Таблица 1.9. (см. скан) Сложение и умножение по модулю 5
определению линейных функций (1.90), если положить
Правила сложения и умножения по модулю
приведены в табл. 1.8 и 1.9. По этим таблицам легко убедиться, что все аксиомы, входящие в определение поля, удовлетворяются.
Согласно определению (1.90), линейными функциями являются функции
где
и переменные
принимают значения из поля
Комбинационные схемы, выполняющие операции сложения и умножения по модулю
называются линейными. При значении
проблема синтеза линейных КС отсутствует, так как ЛЭ И и сумма по модулю два выпускаются в виде И С. При значениях
необходимо синтезировать типовые линейные КС, выполняющие операции сложения
-ичных чисел и умножения их на константы
по модулю
Данная задача решена в § 6.15.