2.4. Более точная граница для вероятности ошибки

В тех случаях, когда аддитивная граница становится слишком грубой, применение более тонкого метода всегда приводит к улучшенной границе, которая точна в значительно более широкой области. Обратимся к первоначальному общему выражению для вероятности ошибки (2.3.1) и начнем с того, что введем подмножество пространства наблюдений вида

содержащее область Последнее вытекает из того, что при для всех определение (2.2.8) приводит к неравенству, справедливому для любого

Более того, возведение в степень обеих частей неравенства (2.4.2) оставляет неравенство справедливым при а сумма по всем кроме других неотрицательных слагаемых, включает слагаемое с индексом для которого справедливо неравенство (2.4.2). Поэтому из (2.4.2) вытекает неравенство

Из неравенства (2.4.1) и (2.4.3) следует тогда, что каждое входит и в поэтому

Слагаемые в (2.3.1) всегда неотрицательны, поэтому, расширив области суммирования в (2.3.1), получим границу

где

Далее имеем

поскольку из определения (2.4.1) следует, что для правая часть неравенства (2.4.6) больше 1, а при она по крайней мере больше 0.

Подставляя выражение (2.4.6) для в (2.4.5), получим

Поскольку представляют собой произвольные положительные числа, можно выбрать что дает неравенство

Приведенная граница принадлежит Галлагеру [1965]; она гораздо менее очевидна, чем аддитивная граница. Ясно, однако, что аддитивная граница (2.3.16) представляет собой ее частный случай, соответствующий значению в неравенстве (2.4.8). В следующем параграфе мы выясним, насколько граница Галлагера сильнее аддитивной границы.