Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
5.4. Нижняя граница для вероятности ошибкиДля решетчатого кода со скоростью
Допустив, что длины путей могут быть сколь угодно большими, попытаемся получить нижнюю границу для
При любом
где
Из (5.4.1) — (5.4.5) следует:
Здесь берем достаточно большим, так чтобы параметр X мог быть любым рациональным числом; возникающие при этом неточности могут быть учтены в членах порядка
так как из (5.4.46) следует, что
Дифференцируя (5.4.7) и используя (5.4.8) и (3.2.5), получаем
Таким образом, можно положить (5.4.7) равным нулю и найти абсолютный минимум как функцию
Комбинируя (5.4.10) и (5.4.46), находим
При этом из (5.4.6), (5.4.11) и (5.4.12) получаем
Наконец, комбинируя (5.4.6), (5.4.11) и (5.4.12) и замечая, что вывод безотносителен к конкретному алгоритму декодирования, приходим к следующей теореме. Теорема 5.4.1. Нижняя граница для сверточного кодирование (Витерби [1967а]). Вероятность ошибки на бит для произвольного сверточного кода и любого алгоритма декодирования ограничена снизу неравенством
Как видим, нижняя граница показателя экспоненты сверточного кодирования совпадает с верхней границей показателя экспоненты (5.1.34) при скоростях
Это следует из того, что монотонно возрастающая функция Для того чтобы улучшить нижнюю границу показателя экспоненты сверточного кодирования при малых скоростях, воспользуемся нижней границей при нулевой скорости (3.7.19) вместо границы сферической упаковки. При этом вместо (5.4.3) получим
Хотя здесь использовался показатель экспоненты при нулевой скорости, результат останется верным при любых скоростях, так как показатель экспоненты должен уменьшаться монотонно по
где Следствие 5.4.1. Нижняя граница при малых скоростях. При
где График показателя экспоненты этой границы для типичного симметричного по выходу канала с двоичным входом приведен на рис. 5.5, где для сравнения приведен также график показателя экспоненты верхней границы для малых скоростей; последняя граница справедлива только для этого класса каналов. Заметим, что можно было бы воспользоваться также нижней границей для малых скоростей, приведенной в § 3.8 (Витерби [1967]), но это привело бы к тому же результату, что и использование границы (5.4.17). В заключение остановимся кратко на возможности получения границ, которые были бы асимптотически точными при всех скоростях. Рассуждения, приведенные в § 3.9 для блочных кодов, с тем же успехом могут быть применены и к сверточным кодам. Если граница Гилберта точна [предположение (3.9.4)], то получающаяся в результате нижняя граница [см. (3.9.5)] может быть использована вместо границы (5.4.4), что при малых скоростях приведет к нижней границе, которая для симметричных по выходу каналов с двоичным входом будет везде совпадать с верхней границей (5.3.13). Таким образом, показатели экспоненты блочного кодирования со всех точек зрения ведут себя точно так же, как показатели экспоненты сверточного кодирования, которые, однако, значительно больше первых во всем диапазоне скоростей передачи
|
1 |
Оглавление
|