4.9. Каналы с межсимвольной интерференцией

Алгоритм Витерби, первоначально разработанный для декодирования сверточных кодов, неожиданно привел к фундаментальным результатам в области оптимальной демодуляции в каналах с межсимвольной интерференцией. Явление межсимвольной интерференции, уже обсуждавшееся в § 2.6, возникает всякий раз, когда сигнал проходит через линейный канал (фильтр), переходная функция которого отлична от константы полосе частот сигнала. Чем уже полоса канала, тем сильнее выражена межсимвольная интерференция. Общая модель канала с ограниченной шириной полосы приведена на рис. 4.21. Вначале рассмотрим случай цифровой модуляции (импульсно-кодовой или бифазной без кодирования в АБГШ канале с межсимвольной интерференцией. В следующем параграфе и § 5.8 обобщим результаты на случай, когда при передаче осуществляется также и кодирование.

Рис. 4.21. Канал с межсимвольной интерференцией (с ограниченной полосой) и демодулятор с согласованными фильтрами: а — аналоговая модель; цифровая эквивалентная модель

Цифровой сигнал описывается последовательностью импульсов или дельта-функцией Дирака

где последовательность символов из конечного алфавита; всюду ниже, как правило, берется двоичный алфавит Длина последовательности равна произвольному числу При этом первая часть канала, которая описывается линейным импульсным откликом имеет выходной сигнал

Как обычно, в качестве аддитивного шума выбирается белый гауссовский шум со спектральной плотностью при этом принимаемый сигнал так же, как и в гл. 2, представляется в виде

Как установлено в § 2.2, минимизирующее вероятность ошибки решающее правило, основанное на полном принятом сигнале, отдает предпочтение сигналу если для всех выполняется неравенство где у и коэффициенты ортогонального представления Грама-Шмидта функций Число возможных последовательностей ограничено сверху неравенством где мощность алфавита компонент В § 2.2 в предположении априорной равновероятности последовательностей было показано, что логарифмическое отношение правдоподобия для определяется равенством

В данном случае интегральное представление логарифмического отношения правдоподобия оказывается более полезным. Бесконечные пределы интегрирования являются следствием того, что функция определяется не менее, чем на полубесконечной прямой.

Возвращаясь к представлению (4.9.2) сигнала и полагая

получаем, что правило принятия решений по максимуму правдоподобия может быть основано на величинах

где

переходная функция канала, представляющая собой преобразование Фурье импульсного отклика канала. Переменные являются наблюдаемыми; величинами и на них будут основываться все решения. Из (4.9.6) следует, что эти величины формируются отсчетами свертки принятого сигнала с функцией через каждые Однако эта свертка точно совпадает с выходным, сигналом фильтра, согласованного с импульсным откликом канала когда, на вход этого фильтра подается Таким образом, наблюдаемыми величинами являются значения выходного сигнала согласованного фильтра. Этот результат аналогичен полученному в §§ 2.1 и 2.2 при принятии решения по максимуму правдоподобия в АБГШ канале. Единственное отличие состоит в что вместо сигнала конечной длительности используется импульсный отклик, бесконечной длительности.

Постоянные которые зависят только от импульсного отклика канала, называются коэффициентами меяссимвольной интерференции. Хотя согласно (4.9.7) коэффициенты в общем случае отличны от нуля для всех на

практике при достаточно больших Примем последнее приближение для того, чтобы ограничить размерность задачи; а именно, будем считать, что

где Благодаря симметричности коэффициентов симметричная квадратичная форма в (4.9.5) может быть представлена в виде суммы диагональных членов и удвоенной верхней треугольной квадратичной формы. Поэтому

При выводе последнего равенства, чтобы избежать влияния краевого эффекта, использовалось условие при Подставляя последнее выражение в (4.9.5) и используя (4.9.8), получаем

где принято, что при и

Это выражение напоминает формулу для метрики ребер, устанавливающую критерий декодирования сверточных кодов в АБГШ канале с двоичным входом. Эта формула (4.2.3) в принятых здесь обозначениях имеет вид

где, соответственно,

являются -мерными принятым и кодовым векторами кодового пути, соответствующими кодовому ребру, а их внутреннее произведение при соответствующем выборе масштаба задает метрику для ребра. Последнее выражение для следует из того, что кодовый вектор для ребра сверточного кода с длиной кодового ограничения К определяется текущим и предшествующими информационными символами.

Выражение (4.9.10) отличается от выражения для метрики ребра сверточных кодов (4.9.11): во-первых, наблюдаемое «ребро» является скаляром, а не вектором, и, во-вторых, выражение (4.9.10) квадратично по в то время как (4.9.11) — линейная функция величин которые являются, в свою очередь,

алгебраическими (с операциями в конечном поле) функциями Однако в главном эти выражения совпадают, поскольку они оба зависят от конечного числа последних информационных символов. Это приводит нас к важному выводу о том, что демодуляция по максимуму правдоподобия двоичных данных, передаваемых по АБГШ каналу с межсимвольной интерференцией и конечным объемом памяти, может быть выполнена с помощью решетчатой диаграммы с 255-1 состояниями, которые определяются последними информационными символами. Другими словами, для максимизации величины достаточно найти ее максимальное значение по всем путям решетчатой диаграммы с 1 состояниями, метрика ребер которой определяется формулой (4.9.10). Очевидно, что это можно сделать с помощью алгоритма Витерби, описанного в § 4.2, который переформулируем применительно к данному случаю. Рассмотрим лучших путей через ребро

где один из 2 двоичных векторов состояний, а запись лучшего пути для этого состояния. При соответствующих метриках путей ведущих в рассматриваемую точку, лучшие пути, проходящие через ребро, определяются путем попарной максимизации:

Если верхнее ребро (4.9.12) имеет большую метрику, то результирующий символ указателя пути, соответствующий данному состоянию, если же большую метрику имеет нижнее ребро, то соответствующий состоянию символ

Перейдем к оценке характеристик этого правила принятия решений по максимуму правдоподобия, учитывая тот факт, что оно может быть реализовано с помощью алгоритма Витерби. Для двух данных путей на решетке (или диаграмме состояний) — правильного пути, соответствующего сообщению и имеющего метрику А, и другого пути, соответствующего сообщению и имеющего метрику к, — ошибка будет иметь место, если Вероятность того, что рассматриваемый неправильный путь порождает ошибку, определяется равенством (2.3.10):

где, как следует из (4.9.2) и (4.9.7),

Вновь напомним, что это вектор, образуемый коэффициентами ортогонального представления Грама-Шмидта сигнала Определяя сигнал ошибок соотношением

и учитывая, что перепишем (4.9.14) в виде

Таким образом, для заданной последовательности ошибок вероятность ошибки определяется формулой

Используя оценку уже применявшуюся в § 2.3, нахо

Обозначение использовалось для указания того, что вероятность ошибки зависит от разностей информационных символов двух путей. Учтем также, что результат зависит от знака разностей и положения путей. Таким образом, в отличие от вероятности ошибки для линейных кодов, применяемых в симметричных по выходу каналах с двоичным входом, в которых характеристики не зависят от знака входных символов канала и, как следствие этого, выполняется условие однородности ошибок, в данном случае ситуация усложняется тем, что должен приниматься во внимание знак ошибок и, следовательно, информационные символы. Конечно, оба знака равновероятны для каждого из информационных символов, и, следовательно, компоненты ошибок для каждой пары (правильного и неправильного) путей могут принимать значения 0, +1, и —1.

До настоящего момента рассматривались передаваемая двоичная последовательность и и любая другая последовательность и. Определив последовательность ошибок выражением

мы нашли вероятность ошибки и получили для нее границу (4.9.18). Сейчас сосредоточим внимание только на тех парах последовательностей и и и, которые приводят к ошибочным исходам, показанным на рис. 4.11. Другими словами, ограничимся рассмотрением только тех последовательностей ошибок, которые начинаются в некоторый фиксированный момент времени и до последней ненулевой компоненты не содержат следующих друг за другом нулей. Число ненулевых компонент в обозначим через и заметим, что однозначно определяет последовательность источника и ровно в позициях. Для ансамбля равновероятных последовательностей источника вероятность того, что последовательность источника может иметь последовательность ошибок равна следовательно, вероятность ошибочного исхода в данном узле можно оценить сверху с помощью аддитивной границы

где суммирование проводится по всем последовательностям ошибок, начинающимся в данном узле и заканчивающимся в точке слияния путей. Эта вероятность включает в себя усреднение по всем передаваемым последовательностям. Для того чтобы определить вероятность ошибки на бит в любом данном узле, учтем, что для любой пары последовательностей и и и, которая приводит к последовательности ошибок число ошибок в двоичных символах, возникающих при этом, равно Следовательно,

Оценивая далее правые части неравенств (4.9.20) и (4.9.21) с помощью (4 9.18), получаем

Для упрощения нахождения численных значений границ (4.9 22) и (4.9.23) можно воспользоваться диаграммой состояний ошибок. Эта диаграмма имеет размерность так как каждая пара путей в заданном узле может отличаться в каждой компоненте состояния на или —1, причем значения и —1 равновероятны. Как обычно, нулевое состояние ошибок является одновременно и начальным и конечным. Для иллюстрации на рис. 4.22 и 4 23 приведены диаграммы состояний ошибок для Отметим, что весовые множители, фигурирующие в (4.9.22), учитываются умножением на 1/2 переходной функции ребер, если соответствующий переход связан с различием между состояниями (ошибкой). Если мы интересуемся вероятностью ошибки на бит, то

Рис. 4.22. Пример КМСИ для а — цифровая эквивалентная модель для , б - генератор метрики ребер; в — генератор метрики ребер для диаграммы состояний ошибок; г - диаграмма состояний ошибок для вычисления двоичных ошибок; д - упрощенная диаграмма состояний ошибок и граница для вероятности двоичной ошибки;

это в точности те переходы, при которых происходит ошибка на бит. Следовательно, для этих ребер должен быть также включен множитель 1. Для нахождения точно так же, как и в случае сверточных кодов в § 4.4, необходимо продифференцировать порождающую функцию по и далее положить

В случае (см. рис. 4 22) на полной диаграмме состояний ошибок (см. рис. 4.22 г) состояния и —1 эквивалентны, так что они могут быть объединены в одно состояние; это приводит к упрощенной диаграмме, показанной на рис. 4.225. Из этой диаграммы непосредственно следует, что

Этот результат представляет большой интерес, так как относится к спаренной двоичной передаче, когда каждый передаваемый сигнал представляет собой импульс двойной ширины, т. е.

(кликните для просмотра скана)

В этом случае, как легко проверить с помощью при всех следовательно,

Особый интерес представляет тот факт, что показатель экспоненты асимптотически не ухудшается по сравнению с показателем в случае канала без межсимвольной интерференции.

Диаграмма состояний ошибок, приведенная на рис. для случая имеет четыре эквивалентных пары состояний, которые могут быть объединены для получения упрощенной диаграммы состояний ошибок, приведенной на рис. 4.236. Такое упрощение в общем случае всегда приводит к тому, что диаграмма состояний ошибок для межсимвольной интерференции с памятью длины сводится к упрощенной диаграмме состояний ошибок с ненулевыми состояниями.

В этом параграфе рассмотрен случай известного фильтра, образуемого парой модулятор—канал, выход которого подвержен воздействию аддитивного белого гауссовского шума. Символы на выходе фильтра представляются как линейная сумма конечного числа информационных символов, взятых с некоторыми весами, и могут рассматриваться как некоторый сверточный код с компонентами из множества действительных чисел, который декодируют с помощью алгоритма Витерби. За исключением диаграммы состояний ошибок, ничего принципиально нового в случае линейного канала с межсимвольной интерференцией рассмотренного выше типа не наблюдается. Так как алгоритм Витерби является алгоритмом декодирования по максимуму правдоподобия для произвольных нелинейных решетчатых кодов, то он может быть использован и для демодуляции по максимуму правдоподобия информационных последовательностей, передаваемых по любому каналу, состоящему из произвольного (возможно нелинейного), но бесшумного тракта с конечной памятью, за которым следует тракт с шумом, но уже без памяти. Бесшумная часть канала, имеющая конечную память, ведет себя как решетчатый код, который декодируется демодулятором, основанным на алгоритме Витерби.