2.12.2. Некогерентный прием

Другие причины потерь заключаются в неполном знании фазы, а также частоты несущей и моментов синхронизации, о чем кратко упоминалось в § 2.6. Последние два параметра всегда следует оценивать с достаточной точностью, иначе потери в любой системе цифровой связи станут недопустимо большими; в то же время можно работать и без знания фазы.

Обратимся к табл. 2.1 и рис. 2.11. Предположим, что имеются всего два ортогональных по частоте сигнала, у которых разнесение по частоте кратно Именно такое разнесение необходимо для функций, ортогональных по частоте с квадратурной фазой, а также и в случае, когда фаза неизвестна, иначе нельзя различить синус и косинус на приемном конце. Таким образом,

где известная огибающая с единичной нормой, частота кратна можно рассматривать как случайную величину, равномерно распределенную на интервале от 0 до Соотношение (2.12) соответствует некогерентному приему сигнала. Оптимальный демодулятор (см. рис. 2.20) состоит из двух устройств, каждое из которых эквивалентно устройству, используемому для сигналов с квадратурной фазой. Если передан сигнал то четыре наблюдения равны

где

причем все они взаимно независимы, имеют нулевое среднее и дисперсию Функция правдоподобия при передаче сообщения 1 и фазе задается соотношением

Но фаза равномерно распределенная случайная величина, поэтому функция правдоподобия наблюдения у при условии, что передано сообщение 1, находится усреднением соотношения (2.12.3) по значениям

где

— модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, представляющая собой монотонно возрастающую функцию х. Из соображений симметрии ясно, что совпадает с если всюду поменять местами индексы 1 и 2. Решающее правило для двух сообщений в соответствии с (2.2.7) имеет вид

или в нашем случае

Поскольку монотонно возрастает, это эквивалентно соотношению

Таким образом, решение зависит только от суммы квадратов наблюдений на выходе каждого демодулятора для каждого сигнала (или любой монотонной конечной функции от таких

наблюдений), вычисляемых по составляющим как показано на рис. 2.20. Мы можем в дальнейшем рассматривать в качестве наблюдений Из (2.12.4) следует, что указанные наблюдения независимы, т. е.

Кроме того, из формулы (2.12.5), эквивалентной переходу от декартовых к полярным координатам, и из (2.12.4) вытекает, что

Теперь довольно просто получить вероятность ошибки при некогерентной модуляции для двух ортогональных по частоте сигналов. Имеем

В силу симметрии

Обобщение на ортогональных по частоте сигналов вида (2.12.1) следует непосредственно. При этом демодулятор представляет набор устройств, приведенных на рис. 2.22. Вероятность ошибки можно получить, суммируя экспонент (см. задачу 2.14); при этом получается асимптотически точная оценка, совпадающая с оценкой в случае когерентного (с известной фазой) приема ортогональных сигналов, задаваемой соотношением (2.5.16) (см. задачу 2.15). Из этого не следует, однако, что игнорирование фазы не приводит к потерям. Тот факт, что характеристики некогерентного приема ортогональных сигналов асимптотически совпадают с характеристиками когерентного приема, объясняется тем, что с ростом растет и и, следовательно, оптимальный приемник эффективно оценивает фазу на большом интервале в процессе выбора между возможными сигналами.

В качестве обратного примера рассмотрим систему двоичного кодирования того же типа, что и обсуждавшаяся в предыдущем параграфе. В ней каждый двоичный символ передается посредством одного из двух ортогональных по частоте сигналов (2.12.1), которые демодулируются посимвольно, давая в результате модель

ДСК с переходной вероятностью определяемой (2.12.9) при Пусть тогда оценка для вероятности ошибки такой системы, полученная на основе аддитивной границы Бхаттачария, совпадает с (2.11.5) с той разницей, что расстояние Бхаттачария в ней определяется соотношением

Ясно, что потери в сравнении с когерентным случаем здесь довольно велики, поскольку при когерентном приеме при Может показаться, что причина таких потерь состоит в том, что расстояние между сигналами для каждого символа уменьшается вдвое вследствие использования ортогональных сигналов вместо бифазных. Для бифазных сигналов, отличающихся друг от друга лишь знаком, Существует, однако, метод, применение которого в случае некогерентного приема приводит фактически к удвоению энергии на символ, и, следовательно, справедлива формула (2.12.9) для вероятности ошибки с удвоенным значением энергии. Этот метод называется разностной фазовой телеграфией (см., например, Витерби [1966], Ван Трис [1968]. Тем не менее даже использование вдвое большей энергии при некогерентном приеме приводит к простому умножению соотношения (2.12.10) на 4; в таком случае все равно было бы пренебрежимо мало при по сравнению с когерентным приемом. Положение несколько улучшается при использовании оптимального неквантованного декодирования, однако потери остаются значительными.

Поэтому в случае, когда фаза меняется медленно по сравнению с длиной кодового блока, что и предполагалось выше, нецелесообразно использование систем кодирования, в которых недостаточная точность измерения фазы приводит к серьезным потерям. В следующем параграфе мы рассмотрим случай быстрого изменения фазы, обычно сопровождаемого быстрыми изменениями амплитуды, к которому приводит передача в среде с многолучевыми замираниями.