Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2.8. Линейные кодыДо сих пор мы уделяли значительное внимание всем частям системы связи, кроме кодера. В грубом приближении кодирование можно рассматривать как операцию просматривания таблицы. Каждый из
Рис. 2.18. Линейный блочный кодер Регистр длины К в точности соответствует регистру блока информационных символов, представленному на диаграмме общей системы (см. рис. 2.1). Кодер состоит из
Простая проверка показывает, что эта операция ассоциативна и коммутативна, т. е. если а, b и с — двоичные символы (0 или 1), то
и
Таким образом, первую ступень кодирования двоичных данных можно представить в виде
где Слагаемое
называется порождающей матрицей линейного кода,
где и Чтобы завершить процедуру линейного кодирования, необходимо преобразовать
и выполняется равенство положить Прежде чем перейти к дальнейшему исследованию кодового пространства, или пространства выходных сигналов модулятора, обсудим одно чрезвычайно важное свойство линейных кодов, называемое замкнутостью: оно состоит в том, что полученная сумма по модулю 2 двух кодовых векторов
также представляет собой кодовый вектор. Это легко показать, применив ассоциативный закон к векторам
Поскольку
что также представляет собой кодовый вектор. Как правило, кодовые векторы перенумеровываются последовательно, причем
В силу соотношения (2.9.1) справедливо равенство
которое означает, что при сложении по модулю 2 каждый вектор совпадает со своим противоположным (по сложению). Если некоторое множество удовлетворяет условию замкнутости (2.9.6), включает нулевой (2.9.7) и противоположные элементы (2.9.8) при некоторой ассоциативной и коммутативной операции (2.9.2), его называют Абелевой группой. Поэтому линейные коды называют еще и групповыми. Их называют также кодами с проверкой на четность, поскольку кодовый символ Интересное следствие, вытекающее из свойства замкнутости, заключается в том, что набор расстояний Хэмминга от некоторого кодового вектора до
то
что очевидно равно числу несовпадающих позиций и, следовательно, расстоянию Хэмминга между векторами. Ясно, что набор расстояний от
Поэтому когда индекс
и, следовательно,
Это и означает, что набор расстояний от заданного кодового вектора Другое весьма полезное следствие свойства замкнутости линейных кодов заключается в
Класс симметричных каналов с двоичным входом, в который входят АБГШ каналы при бифазной и квадрифазной модуляции вместе с каналами, в которые они переходят при симметричном квантовании, можно задать следующим образом. Пусть при всех
Такой канал с двоичным входом называют симметричным, если
Легко проверить, что АБГШ канал, ДСК и любой другой симметрично квантованный АБГШ канал удовлетворяют условию (2.9.13). Чтобы доказать, что для двоичных линейных кодов в этом классе каналов выполняется свойство равномерности ошибки (2.9.11) при декодировании по максимуму правдоподобия, отметим, что из (2.3.1), (2.3.3) и (2.9.1) вытекает соотношение
где
Имеем
Но если положить
что представляет собой всего лишь замену переменной суммирования (или интегрирования), то равенства (2.9.15) и (2.9.14) перейдут соответственно в равенство
и
Сравнивая (2.9.146) и (2.9.156) с (2.9.14а) и (2.9.15а) соответственно при
Поэтому в симметричных по выходу каналах с двоичным входом не только равны вероятности ошибок всех сообщений, но и при вычислении В качестве примера рассмотрим линейно закодированный и бифазно-модулированный сигнал, передаваемый в АБГШ канале. Точный подсчет вероятности ошибки в общем случае исключительно сложен (если не считать специальных случаев, таких, как ортогональные или симплексные коды; см. задачи 2.4 и 2.5). Однако верхнюю аддитивную границу (см. § 2.3) легко вычислить, если известны веса всех кодовых векторов. Из соотношений (2.3.4) и (2.3.10) получаем, что в АБГШ канале при бифазной модуляции
где
и, следовательно, при бифазной (или квадрифазной) модуляции в АБГШ канале использования аддитивной границы дает оценку
Легко обобщить оценку (2.9.17) на любой симметричный канал с двоичным входом, воспользовавшись границей Бхаттачария (2.3.15) и аддитивной границей (2.3.4). В случае каналов без памяти граница (2.3.15) переходит в границу
Последнее равенство вытекает из того, что каждая сумма в первом произведении равна единлцг. Поскольку
а из этого неравенства и из соотношения (2.3.4) найдем, что
где
где В принципе можно было бы воспользоваться более точной границей Галлагера (2.4.8), но она требует, вообще говоря, большей информации о структуре кода, чем знания только набора расстояний между кодовыми векторами. На самом деле даже вычисление набора кодовых весов в общем случае сделать непросто. Часто единственным известным кодовым параметром оказывается минимальное расстояние между кодовыми векторами. В таких случаях из соотношений (2.9.17) и (2.9.19) можно получить весьма слабые оценки
для АБГШ канала и
для общего канала с двоичным входом. Слабость такого подхода к оценке качества линейных кодов (кажущаяся непреодолимой) связана с тем, что большинство длинных кодов, для которых известны методы построения, обеспечивающие заданные расстояния или для которых имеются хорошие описания, имеют, как правило, плохие метрические свойства. Ряд коротких кодов оказывается оптимальным для некоторых скоростей и при сравнительно коротких длинах. Примером служит код Голея, рассматриваемый в § 2.11. Эти коды весьма полезны для иллюстрации преимуществ кодирования, однако те несколько примеров, причем обособленных, которые можно привести, едва ли убедительны при изучении свойств линейных или нелинейных кодов. В следующей главе мы выявим большинство этих свойств путем рассмотрения всего ансамбля кодов заданной длины и скорости в противовес безнадежным попыткам поиска оптимальных членов такого ансамбля.
|
1 |
Оглавление
|