Глава 2. ДВУХМЕРНЫЕ АЛГОРИТМЫ

2.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И НОВЫЕ КООРДИНАТЫ

Рассмотрим следующую систему уравнений:

Эти уравнения можно интерпретировать двояким образом:

1. Все точки на плоскости перемещаются вправо на расстояние а — см. рис. 2.1 (а);

2. Координатные оси х и у перемещаются влево на расстояние а — см. рис. 2.1(б).

Рис. 2.1. (а) - перенос; (б) - изменение координат

Этот простой пример иллюстрирует принцип, применимый и в более сложных ситуациях. Мы и далее будем рассматривать системы уравнений, обычно записываемых в виде произведений матриц, интерпретируя их как преобразования всех точек в фиксированной системе координат. Однако та же самая система уравнений может интерпретироваться и как изменение системы координат.

Пусть необходимо повернуть точку вокруг начала координат О на угол Изображение новой точки на рис. 2.2 обозначим через Существуют четыре числа такие,

Рис. 2.2. Поворот вокруг точки О на угол

что новые координатах могут быть вычислены по значениям старых координат х и у из следующих уравнений:

Для получения значений рассмотрим вначале точку (х, у) = (1,0). Полагая в уравнении (2.1), получим

Но в этом простом случае, как это видно из рис. значения х и у равны соответственно Тогда будем иметь

Аналогичным образом из рис. 2.3(б) следует

Тогда вместо системы уравнений (2.1) можем записать

Рис. 2.5. (а) - отображение точки (1,0); (б) - отображение точки (0,1)

В приведенной ниже программе изображение стрелки вычерчивается после предварительного поворота вокруг точки О на 6°.

(см. скан)

В геометрии точки объекта обычно обозначаются прописными буквами Здесь будем обозначать их цифрами В начальной позиции стрелка указывает вверх, ее центр расположен в точке В комментариях в правой части программы сделана попытка (правда, не очень успешная) показать стрелку в исходной позиции. Значения координат х и у для вершин ломаной линии, изображающей стрелку, записаны в элементах массивов . Эти массивы — внешние: они определены вне функции Внешние массивы обладают очень полезным свойством — значения элементов массива можно

инициализировать. Нумерация индексов элементов массива начинается с 0, в описании массива необходимо задать количество элементов массива. Таким образом, описание массива (которое также называется “декларацией” или “объявлением”)

вводит четыре элемента массива с начальными значениями

То обстоятельство, что начальное значение задано отрицательным, а все координаты для вычерчивания должны быть положительными, не вызывает сложностей, поскольку перед вычерчиванием стрелка подвергается повороту, который переносит ее в область над осью х. На рис. 2.4 показан результат работы этой программы.

Рис. 2.4. Результат работы программы