6. Задача о делении окружности на равные части

Теперь обратимся к восьмому из перечисленных в разделе 1 пунктов, — именно, к задаче о делении окружности на равные части. Я буду при этом считать, что действия над комплексными числами вида и изображение их на так называемой «комплексной плоскости» всем вам уже известны. Итак, задача заключается в том, чтобы разделить окружность на равных частей или построить правильный -угольник.

Мы возьмем окружность радиуса 1 с центром в нулевой точке комплексной плоскости и примем точку за первую из точек деления; тогда комплексные числа, соответствующие остальным вершинам, имеют вид (рис. 11)

Они удовлетворяют поэтому уравнению

и задача о делении окружности на равные части сводится к решению этого простейшего алгебраического уравнения. Так как это уравнение имеет рациональный корень то двучлен делится на и потому мы для остальных корней получаем уравнение

Рис. 11

Это есть уравнение степени, в котором все коэффициенты равняются единице.

Уже в глубокой древности вызывал большой интерес вопрос о том, какие правильные многоугольники можно построить циркулем и линейкой. В древности же было уже известно, что при (где h — произвольное целое число), а также для составных значений эта задача решается; на этом месте вопрос остановился вплоть до конца XVIII столетия, когда им занялся молодой Гаусс. Он нашел, что для всех простых имеющих вид

возможно деление окружности на равные части циркулем и линейкой; при других же простых значениях оно невозможное. И действительно, первые значения дают в этой формуле простые числа 3, 5, 17, 257, 65 537. Из них первые два случая были уже хорошо известны раньше, а остальные являются новыми. Особенно знаменит правильный семнадцатиугольник, возможность построения которого посредством циркуля и линейки была в этом сочинении в первый раз обнаружена.

Впрочем, общий вопрос о том, при каких значениях показателя предыдущая формула дает именно простые числа, остается и по сей день нерешенным. Я и здесь не буду останавливаться на деталях, а предпочту изложить в общих чертах ход и значение этого открытия; подробности же относительно правильного семнадца-тиугольника вы найдете в книге Вебера и Вельштейна.

По этому поводу я считаю необходимым особенно обратить ваше внимание на «Дневник» Гаусса, опубликованный в томе 57 журнала «Mathematische Anna-len» (1903) и в томе X, I полного собрания сочинений Гаусса (1917). Это небольшая, невзрачная тетрадка, которую Гаусс начал вести с 1796 г., незадолго перед тем, как ему исполнилось 19 лет. Как раз первая запись относится к вопросу о возможности построения правильного семнадцатиугольника. Сделав так рано это важное открытие, Гаусс принял окончательное решение посвятить себя математике. Всякому математику будет очень интересно просмотреть этот дневник, так как здесь можно проследить и за дальнейшими выдающимися работами Гаусса, относящимися к теории чисел, к теории эллиптических функций и т. д.

В первый раз это первое крупное открытие Гаусса было опубликовано 1 июня 1796 г. Это было сделано по почину учителя и покровителя Гаусса, Циммермана из Брауншвейга, который поместил также и от себя короткую заметку об этой статье. Доказательство Гаусс дал в своем основном сочинении по теории чисел: «Disquisitiones arithmeticae», опубликованном в 1801 г.

Здесь мы находим также и вторую, отрицательную часть предложения, которой в упомянутой заметке не было, — именно, что для других простых чисел, которые не могут быть приведены к виду (6), деление окружности на равные части не может быть произведено циркулем и линейкой. Я хочу рассмотреть здесь один частный случай этого важного доказательства невозможности, тем более, что широкая математическая публика имеет очень мало представления о доказательствах невозможности вообще. Современной математике удалось при помощи такого рода доказательств невозможности исчерпать целый ряд знаменитых проблем, над которыми с древних времен тщетно трудились многие выдающиеся математики.

Достаточно указать на задачи о построении правильного семиугольника, о трисекции угла и о квадратуре круга. При всем том имеется много людей, которые и по сей день занимаются этими задачами, не только не имея никакого представления о высшей математике, но и не зная даже постановки вопроса о доказательстве невозможности; сообразно своим познаниям, ограничивающимся большей частью элементарной геометрией, они обыкновенно пытаются преодолеть затруднения вспомогательными прямыми и окружностями и в конце концов нагромождают их в таком количестве, что никто не в состоянии разобраться в получающейся путанице и непосредственно указать автору на его ошибку. Вы напрасно будете ссылаться на существующее доказательство невозможности, так как на этих людей в лучшем случае можно повлиять только прямым указанием допущенной ими ошибки. Каждый сколько-нибудь известный математик каждый год получает целую уйму такого рода посланий, и вы будете получать такие доказательства в большом количестве, когда будете стоять у дела. Очень хорошо, чтобы вы впредь были готовы к этим переживаниям и знали, как себя в этом отношении держать. Я полагаю поэтому, что вам будет полезно ознакомиться с одним из таких доказательств невозможности в простейшей форме.