D. Общее понятие функции.

Мы должны заняться в нашем курсе этим вопросом, тем более, что ведь наша школьная реформа по самому существу своему стоит под девизом выделения на первый план в школьном обучении этого столь важного понятия.

Сначала мы проследим историю развития этого понятия. Прежде всего заметим, что у более старых авторов, каковы Лейбниц и Бернулли, понятие функции встречается всегда лишь в применении к отдельным примерам, к степеням, к тригонометрическим функциям и т. п. Общие формулировки встречаются впервые только в XVIII в.

Рис. 91

1. У Эйлера около 1750 г. мы находим два различных определения слова «функция»:

а) В своем «Introduction» он называет функцией всякое аналитическое выражение, содержащее , т. е. всякое выражение, составленное из степеней, логарифмов, тригонометрических функций и т. д. Впрочем, он уже делает обычное подразделение функций на алгебраические и на трансцендентные.

b) Наряду с этим мы встречаем у него случаи, когда функция определяется тем, что в плоскости координат начерчена кривая просто от руки «libera manu ducta» (рис. 91).

2. Лагранж в своей «Theorie des fonctions analyti-ques» (около 1800 г.) сильно ограничивает понятие функции, сводя его к так называемым аналитическим функциям, определяемым посредством степенного ряда относительно Мы сохранили до сих пор этот термин «аналитическая функция», хотя, конечно, хорошо знаем, что здесь идет речь только об одном специальном классе функций из числа тех, которые действительно появляются в анализе. Степенным рядом

функция определяется только внутри области сходимости, т. е. в некоторой окрестности значения

Но вскоре был найден способ расширения области, в которой функция определена, за пределы первоначального круга сходимости: если, например, значение лежит внутри (рис. 92) области сходимости ряда SU и если преобразовать этот ряд в другой степенной ряд, расположенный по степеням

то может случиться, что область сходимости последнего ряда выйдет за пределы области сходимости первого ряда, так что у окажется определенным в более обширной области; повторяя тот же прием, можно иногда эту область расширить еще дальше.

Этот процесс аналитического продолжения хорошо известен всякому, кто хоть немного занимался теорией комплексных функций.

Рис. 92

Обратите внимание в особенности на то обстоятельство, что все коэффициенты степенного ряда а следовательно, и сама функция у будут вполне определены, если будут известны значения функции у вдоль какого-нибудь отрезка оси сколь угодно малой длины, например в окрестности точки действительно, тогда будут известны значения всех производных функции у при и коэффициенты можно определить с помощью формул

Таким образом, самый маленький отрезок функции, аналитической в смысле определения Лагранжа, вполне ее определяет на всем ее протяжении. Это свойство находится в полном противоречии со свойствами функции в смысле второго определения Эйлера: всякий отрезок такой функции можно продолжить произвольным образом.

3. Имея в виду дальнейшее развитие понятия функции, я должен назвать теперь Фурье — одного из многочисленных выдающихся математиков, живших в Париже в начале XIX в. Его главный труд - «Аналитическая теория теплоты» (ТЬёопе analytique de la chaleur) — появился в 1822 г.; первое сообщение о содержащихся в нем теориях Фурье сделал Парижской Академии уже в 1807 г.

Это произведение является источником всех тех методов современной математической физики, которые можно охарактеризовать сведением проблем к интегрированию дифференциальных уравнений с частными производными при заданных значениях на границах. Сам Фурье занимается специально вопросом о теплопроводности, который в простейшем случае состоит в следующем: край плоской круглой пластинки поддерживается при определенной температуре, например, одна часть края при температуре таяния льда, другая — при температуре кипения воды (рис. 93); спрашивается, какое установится стационарное распределение температур вследствие распространения теплоты в пластинке? Таким образом, здесь играют роль значения на границах, которые можно по краю пластинки задавать совершенно произвольно, причем в одной части совершенно независимо от другой; поэтому здесь на первый план выступает второе определение функции Эйлера, а не определение Лагранжа,

Рис. 93

4. Это же самое эйлерово определение принимает, в сущности, и Дирихле в упомянутых выше работах, но только он его переводит на язык анализа или, как говорят теперь, арифметизует его. И это действительно представляется необходимым, ибо никакая кривая, как бы тонко она ни была вычерчена, никогда не даст точного определения соответствия значений х и у по той причине, что толщина черты не позволяет произвести арифметически точное измерение нужных значений.

Дирихле формулирует арифметическое содержание эйлерова определения следующим образом: «Если в некотором промежутке каждому отдельному значению отнесено одно определенное значение у, то переменная у называется функцией от Владея, таким образом, этим наиболее общим понятием функции, Дирихле все же всякий раз имеет в виду следуя всеми принятому обычаю, прежде всего непрерывные или не слишком разрывные функции. Если в ту пору и считали вполне возможным сложные сгущения точек разрыва, то едва ли предполагали, что такие случаи могут представить интерес для изучения.

Эта точка зрения находит свое отражение и в том, что Дирихле всегда говорит о разложении в ряд «вполне пронзи вольных функций», а между тем он очень точно формулирует свои «условия Дирихле», которым эти функции должны удовлетворять.

Рис. 94

5. Теперь мы должны принять во внимание, что около 1830 г. начинается более общая разработка теории функций комплексной переменной, которая станов вится постепенно, приблизительно в течение после-» дующих трех десятилетий, общим достоянием математиков. Это развитие связано, прежде всего, а именами Коши, Римана и Вейерштрасса: первые два исходят, как известно, из дифференциальных уравнений в частных производных, названных их именами (этим уравнениям удовлетворяют действительная и мнимая части и, и комплексной функции между тем как Вейерштрасс определяет функцию степенным рядом и совокупностью его аналитических продолжений, примыкая этим в известной степени к Лагранжу.

И вот оказывается, что этот переход в область комплексных величин привел к сопоставлению и объединению обеих рассмотренных выше точек зрения на функцию; я остановлюсь на этом несколько подробнее.

Положим и будем рассматривать степенной ряд

предположим, что этот ряд сходится при небольших значениях z, определяя собой, по терминологии Вейерштрасса, элемент аналитической функции. Рассмотрим его значения на небольшой окружности радиуса с центром в точке (рис. 94), лежащей целиком внутри области сходимости; другими словами, подставим вместо в степенной ряд величину

Если разложим коэффициенты на их действительные и мнимые части:

то для действительной части функции найдем такое выражение:

Мы преднамеренно взяли чисто мнимые части коэффициентов со знаком минус с тем, чтобы в последнем выражении все знаки были положительными. Таким образом, степенной ряд для дает выражение действительной части и на нашей окружности как функции угла посредством тригонометрического ряда такого рода, как мы рассматривали выше, с коэффициентами Обратно, этот тригонометрический ряд вполне определяет собой все величины а следовательно, и степенной ряд, не считая постоянного слагаемого

Если задано какое-либо распределение значений по окружности, лишь бы его удалось представить в виде тригонометрического ряда, — если, другими словами, задана функция в смысле Дирихле, удовлетворяющая условиям Дирихле, — то ей молено указанным образом отнести определенный степенной ряд, сходящийся внутри взятой окружности радиуса , т. е. определенную аналитическую функцию, действительная часть которой принимает на этой окружности заданные значения Мы видим, что в этом порядке идей понятие функции в смысле Фурье — Дирихле вполне совпадает с определением Лагранжа; только та произвольность, которая имеет место по отношению к Ходу изменения тригонометрического ряда вдоль окружности, степенным рядом вполне концентрируется в ближайшей окрестности центра окружности.

6. Но современная наука не остановилась, конечно, на образовании этих понятий, ибо наука как таковая никогда не знает отдыха, и только тот или другой исследователь может прийти в изнеможение.

А именно, в противоположность той точке зрения, которую я охарактеризовал выше как точку зрения Дирихле, в последние три десятилетия при изучении действительных функций стали интересоваться различными функциями, которые существенно выходят за пределы условий Дирихле. При этом были найдены весьма замечательные типы функций, содержащие «отвратительные скопления» самыхнеприятных особенностей. Здесь, прежде всего, возникает вопрос о том, чтобы исследовать, в какой мере остаются в силе при наличии таких «уродств» те теоремы, которые имеют место для «приличных» функций.

7. Наконец, сюда же примыкает совершенно новое обобщение понятия функции, идущее еще дальше. До сих пор функцию всегда считали определенной в каждой точке континуума всех действительных или всех комплексных значений или же, по крайней мере, во всех точках некоторого интервала или области. Но с тех пор, как все более и более стало выступать на первый план созданное Г. Кантором понятие множества, согласно которому континуум всех представляет лишь пример «множества», — с этих пор стали рассматривать и такие функции, которые определены только для значений из какого-либо множества, и стали вообще называть у функцией аргумента если всякому элементу одного множества объектов (чисел или точек) соответствует определенный элемент другого множества у.

Я хочу здесь же отметить одно отличие этих новых представлений от прежних: понятия, выясненные в пп. 1—5, возникли и развились, главным образом, ввиду их приложений к изучению природы: достаточно вспомнить заглавие сочинения Фурье! Наоборот, новейшие исследования, упомянутые в пп. 6 и 7, представляют собой продукты чисто математической потребности исследования, которая не имеет вовсе в виду нужд естествознания; действительно, до сих пор эти исследования не нашли еще прямого применения. Конечно, оптимист должен полагать, что еще придет, несомненно, время для таких приложений.

Но поставим снова свой обычный вопрос о том, что из всего этого должна воспринять школа, что должен знать о них учитель и что должны знать ученики.

Прежде всего, если школа несколько, скажем, на три десятилетия, отстает от новейших успехов нашей науки, если обнаруживается, так сказать, известный гистерезис, то это вполне естественно и отнюдь не нуждается в оправдании. Но в действительности имеет место гораздо более продолжительный гистерезис, обнимающий более столетия: ведь школа большей частью игнорирует все развитие науки, имевшее место после Эйлера; таким образом, для работы реформаторов остается еще весьма обширное поле. То, чего мы требуем от реформы, представляется весьма скромным, если сравнить наши требования с современным состоянием науки: мы хотим, чтобы общее понятие функции в смысле того и другого определения Эйлера проникло как фермент во все преподавание математики в средней школе-, но его надо вводить не в форме абстрактного определения, а на конкретных примерах, которые в большом числе имеются уже у Эйлера, чтобы сделать это понятие живым достоянием ученика. Что же касается преподавателей математики, то, конечно, желательно, чтобы они, помимо того, были знакомы с элементами теории комплексных функций. Хотя и нельзя требовать того же по отношению к новейшим концепциям учения о множествах, по все же желательно, чтобы среди многочисленных учителей нашлось хотя бы небольшое число самостоятельно работающих людей, которые занялись бы и этими вещами.

Историческое значение тригонометрических рядов Фурье. К сказанному я хотел бы добавить несколько слов о том, какую важную роль сыграло учение о тригонометрических рядах во всей этой эволюции понятий.

Первым пришел к изображению произвольных функций посредством тригонометрических рядов Даниил Бернулли, сын Иоганна Бернулли. Изучая (около 1750 г.) акустическую проблему о колебаниях струны, он заметил, что можно получить самый общий вид колебаний струны посредством наложения синусоидальных колебаний, соответствующих основному тону и чистым обертонам, а из этого: вытекает возможность разложить функцию, изображающую форму струны, в тригонометрический ряд.

Хотя в деле ознакомления с этими рядами вскоре были сделаны значительные успехи, однако никто не хотел верить, что с помощью таких рядов можно представить любые функции, заданные графически. Это можно объяснить неясностью представления о такого рода соображениях, какие теперь в учении о множествах стали совершенно тривиальными. По-видимому, принимали a priori, — не умея, конечно, выразить это точно, — что множество всех произвольных непрерывных функций обширнее множества всех возможных систем числовых значений которые соответствуют совокупности всех тригонометрических рядов.

Рис. 95

Но точные логические построения современной теории множеств пролили свет на эти вопросы и обнаружили ложность указанного предрассудка. Позвольте мне подробнее остановиться на этом важном вопросе. Легко видеть, что непрерывная функции, определенная произвольным образом в некотором интервале, например будет задана на всем ее протяжении, если будут заданы ее значения во всех рациональных точках этого интервала. Действительно, ввиду того что эти значения во всяком промежутке образуют всюду плотное множество, то ко всякому иррациональному значению можно подойти сколь угодно близко с помощью (рис. 95) рациональных значений, и в силу непрерывности функции значение ее должно равняться пределу значений в этих бесконечно близких рациональных точках. Далее, как известно, множество всех рациональных чисел «счетное», другими словами, его можно расположить в такой ряд, что в нем за определенным первым элементом следует определенный второй, за ним третий и т. д. А из этого следует, что задать произвольную непрерывную функцию значит задать счетное множество констант — значений функции в расположенных таким образом рациональных точках.

Точно таким же образом посредством счетного множества постоянных может быть задан определенный тригонометрический ряд. Таким образом мнение, будто множество всех непрерывных функций по самой своей природе существенно обширнее множества рядов, оказывается лишенным всякого основания. Ниже мы снова займемся этим вопросом более обстоятельно.

Фурье первый отрешился от такого предвзятого мнения, и в этом заключается его громадное значение в истории тригонометрических рядов. Хотя он и не дал приведенного выше объяснения в духе учения о множествах, но он первый имел мужество уверовать в способность тригонометрических рядов изображать произвольные функции; руководствуясь этой верой, он действительно вычислил несколько характерных примеров разрывных функций (подобных тем, которые мы рассмотрели выше) и тем поставил вне сомнений правильность своего убеждения. Общие доказательства сходимости дал впервые, как я уже говорил, Дирихле, ученик Фурье. Выступление Фурье было настоящей революцией; чтобы посредством рядов из аналитических функций можно было изобразить произвольные функции, подчиненные в различных частях рассматриваемого промежутка различным аналитическим законам, представлялось тогдашним математикам чем-то совершенно новым и неожиданным. В благодарность за открытие этой истины тригонометрические ряды назвали именем Фурье, которое, действительно, пользуется широким распространением. Конечно, всякое такое присвоение собственных имен к научной терминологии всегда представляет значительную односторонность, если не прямую несправедливость.

В заключение я должен, хотя бы вкратце, упомянуть о второй заслуге Фурье. Он рассматривал также и предельный случай тригонометрических рядов, который возникает, если период изображаемой функции возрастает до бесконечности, а так как функция с бесконечно большим периодом представляет попросту непериодическую функцию, произвольно заданную вдоль всей оси то это дает средство изображать и непериодические функции.

Чтобы выполнить этот переход, сначала находят посредством линейного преобразования аргумента ряда изображение функций с любым периодом I вместо фиксированного периода а затем заставляют I возрастать до бесконечности. При этом ряд переходит в так называемый интеграл Фурье:

где выражаются определенным образом через интегралы от функции взятые от до Таким образом, различие заключается в том, что теперь индекс у изменяется непрерывно от О до тогда как раньше он принимал только значения и что вместо коэффициентов стоят теперь

На этом мы можем расстаться с элементарными трансцендентными функциями, которыми мы до сих пор занимались в разделе, посвященном анализу, и перейти к рассмотрению исчисления бесконечно малых в собственном смысле слова.