5. О решении нормальных уравнений

Теперь мы займемся общими свойствами тех уравнений, которые мы до сих пор рассматривали как примеры общей теории, развитой выше, и которым мы дадим название нормальных уравнений.

Конечно, я и здесь могу представить вам положение вещей лишь в самых простых случаях, отсылая интересующихся подробностями к моей книге об икосаэдре.

Начну с того замечания, что крайне простая природа всех наших нормальных уравнений происходит от того, что они допускают столько же линейных подстановок, сколько единиц в показателе их степени, так что все корни представляют собой линейные функции одного из них; замечу также, что в разбиениях сферы мы имеем наглядный геометрический образ всех рассматриваемых здесь соотношений. Я хочу показать на примере одного вопроса, относящегося к уравнению икосаэдра, те существенные упрощения, которые возникают благодаря указанным обстоятельствам в вопросах, которые вообще оказываются крайне сложными, когда имеешь дело с уравнениями столь высокой степени.

Рис. 52

Пусть дано значение например, на отрезке ) действительной прямой сферы w; требуется определить 60 корней z уравнения икосаэдра при (рис. 52). Наша теория показывает, что каждый из них должен лежать на одной из 60 соответствующих (на рис. 50 сплошных) сторон треугольников разбиения сферы . Таким образом, выполнено то, что в теории уравнений называют отделением корней, являющимся большей частью крайне утомительной работой, которая должна предшествовать численному нахождению корней: так называется задача определения таких отдельных промежутков, в которых заведомо заключается только по одному корню. В нашем случае можно сразу определить, сколько среди этих 60 корней действительных. При вышеприведенной форме уравнения икосаэдра предполагается, что он вложен в сферу z таким образом, что действительная прямая проходит через 4 угла каждого рода а, b, с. Из этого вытекает (ср. рис. 50 и 48), что как раз 4 сплошных стороны треугольников расположены вдоль действительной прямой, так что имеется ровно 4 действительных корня.

То же самое имеет место, если лежит в одном из двух других отрезков действительной прямой до, так что вообще при всяком действительном до уравнение икосаэдра имеет 4 действительных и 56 комплексных корней.

Теперь я хочу сказать несколько слов о численном определении корней наших нормальных уравнений. Прежде всего, здесь снова является для нас благоприятным то, что вычислять приходится каждый раз только один корень уравнения, так как остальные корни получаются посредством линейных подстановок. Впрочем, я должен заметить, что численное определение корня составляет, собственно говоря, задачу анализа, а не алгебры, так как оно с необходимостью требует применения бесконечных процессов, чтобы представить с любым приближением значения корней (как правило, иррациональные).

Более подробно я остановлюсь только на самом простом примере — на двучленном уравнении причем я снова прихожу в непосредственное соприкосновение со школьной математикой, так как и в ней разбирается эта задача — вычисление — по крайней мере для первых значений и для положительных действительных значений Метод вычисления квадратных и кубических корней, известный всем вам со школьной скамьи, состоит в сущности в следующем: исследуют, какое место занимает подкоренное число в ряду квадратов или кубов целых чисел затем, основываясь на десятичной системе счисления, повторяют то же испытание с десятыми долями найденного промежутка, затем с сотыми долями и т. д., получая при этом, разумеется, любую степень точности.

Здесь мы применим более рациональный метод, который годится не только при любых целых , но и при любых комплексных значениях до. Так как нам достаточно найти лишь одно какое-нибудь решение рассматриваемого уравнения, то станем искать то значение которое лежит внутри угла построенного при действительной оси (рис. 53). Строго придерживаясь обобщения упомянутого выше элементарного метода, начнем с того, что разделим (лучами, проходящими через вершину) этот угол на v равных частей (на чертеже и пересечем эти лучи окружностями, описанными около начала радиусами

Таким образом, внутри угла мы получим при выбранном v все точки

Соответствующие им значения в плоскости w мы можем указать сразу:

Они образуют там вершины сети, покрывающей всю плоскость w и состоящей из окружностей, имеющих радиусы и лучей, составляющих с действительной осью углы (рис. 54).

Рис. 53

Рис. 54

Данное значение должно находиться в какой-нибудь из этих клеток; пусть — вершина, ближайшая к значению w. Одно из значений известно: это — одна из вершин исходной сети в плоскости z. Теперь для искомого значения корня имеем

Правую часть развернем по формуле бинома Ньютона, которую спокойно можно считать известной, ибо мы и без того ведь, в сущности, находимся в области анализа:

Вопрос о сходимости этого ряда мы можем решить сразу, рассматривая его как разложение аналитической функции в ряд Тейлора и применяя теорему о том, что ряд Тейлора, сходится внутри окружности, описанной около и проходящей через ближайшую особую точку. Так как для У w особыми точками являются только 0 и то написанный выше ряд будет сходиться, когда w будет лежать внутри окружности, описанной около и проходящей через начало, чего мы всегда можем достигнуть, исходя в случае надобности из аналогичной сети в плоскости z, но с более мелкими клетками. А чтобы наш ряд сходился хорошо, т. е. годился для численного определения, необходимо, сверх того, чтобы дробь была достаточно мала, чего также всегда можно достигнуть дальнейшим измельчением сети. Этот прием оказывается пригодным для фактического выполнения численного нахождения корней.

Замечательно, что численное решение дальнейших нормальных уравнений правильных тел оказывается в сущности нисколько не труднее; конечно, здесь я должен ограничиться указанием на это как на факт. Если применить только что изложенный метод к нашим нормальным уравнениям и исходить из отображения двух соседних треугольников на сферу до, то вместо биномиального ряда появляются другие ряды, которые, однако, в анализе не менее известны и пользоваться которыми достаточно легко; это — гипергеометрические ряды. Я дал в 1877 г. численное выражение рядов, о которых идет речь.