XVII столетие: площадь гиперболы.

Последнее истолкование приводит нас непосредственно к натуральным логарифмам, если вместо суммы прямоугольников рассматривать площадь, ограниченную самой гиперболой между ординатами (заштрихованную на чертеже) это выражается, как известно, следующей формулой:

Таков же был и действительный исторический путь: а именно, решительный шаг был сделан около 1650 г., когда аналитическая геометрия составляла уже общее достояние математиков и нарождающееся исчисление бесконечно малых приводило к квадратурам известных кривых.

Если мы принимаем это определение натурального логарифма, то мы должны, конечно, прежде всего убедиться в том, что он действительно обладает тем основным свойством, что умножение чисел заменяется сложением логарифмов, или, выражаясь современным языком, мы должны показать, что определяемая площадью гиперболы функция удовлетворяет простой теореме сложения:

В самом деле, при вариации переменных обе части получают по самому определению интеграла приращения и соответственно которые, таким образом, равны между собой; поэтому могут отличаться только на постоянную С; но последняя оказывается равной нулю, так как при имеем ибо

Чтобы найти «основание» полученных таким образом логарифмов, обратим наше внимание на то, что переход от ряда прямоугольников к площади, ограниченной гиперболой, можно получить, если двигаться по оси абсцисс каждый раз на вместо и давать неограниченно возрастающие значения.

Но это означает, что мы заменяем последовательность значений Бюрги последовательностью где пробегает ряд натуральных чисел. Согласно общему определению степени это можно выразить так: есть степень числа а это делает весьма вероятным, что по выполнении предельного nepexoда — станет основанием; это действительно как раз тот предел, который обыкновенно помещают в самом начале как определение числа . Любопытно, что основание Бюрги совпадает с с точностью до третьего десятичного знака 109).

Посмотрим теперь, как развивалась исторически теория логарифма после Непера и Бюрги. Здесь прежде всего я должен указать следующее:

1. Упомянутый уже выше Меркатор одним из первых стал пользоваться определением натурального логарифма посредством площади гиперболы, в своей книге «Logarithmotechnica», а также в некоторых статьях, помещенных в «Philosophical Transaction» Лондонской академии за 1667 и 1668 гг., он показывает, исходя, собственно говоря, из тех же соображений, которые я только что изложил на современном языке, что отличается от обыкновенного 1 логарифма по основанию 10 — этим основанием уже тогда пользовались при вычислениях — лишь постоянным множителем, так называемым модулем перехода. Кроме того, он же ввел название натуральный логарифм или также гиперболический логарифм. Но самой крупной заслугой Меркатора является то, что он нашел степенной ряд для логарифма, который он получает — по существу, — выполняя в его подынтегральном выражении деление и интегрируя затем почленно. Я уже отметил это выше как шаг, проложивший в математике новый путь.

2. Там же я сообщал, что Ньютон воспользовался этими идеями Меркатора и обогатил их двумя новыми весьма ценными открытиями: обобщенной теоремой бинома и методом обращения рядов.

Эти открытия находятся уже в одной юношеской работе Ньютона: «De analysi per aequationes numero terminorum infinitas», которая была напечатана много позднее, но уже с 1669 г. была распространена в рукописи. В этой работе Ныотон выводит впервые из ряда Меркатора для посредством его обращения ряд для показательной функции:

Таким образом, число, натуральный логарифм которого оавен единице, получается отсюда в таком виде:

и с помощью функционального уравнения для логарифма нетрудно вполне строго прийти к выводу, что для каждого рационального у, в смысле обыкновенного определения степени, равен одному из значений а именно положительному, как мы еще увидим ниже. Таким образом, функция действительно представляет то, что, согласно обычному определению, следовало бы назвать «логарифм основанию , причем здесь определено посредством Более удобный способ получения показательного ряда имел возможность дать Брук Тейлор, установив в своем «Методе приращений» общий принцип разложения в ряд, названный его именем; об этом ряде нам еще придется много говорить в последующем. Ему надо было только из соотношения, содержащегося в определении логарифма с помощью интеграла:

вывести для обратной функции равенство

после этого он имел возможность сразу написать ряд для показательной функции как частный случай его общего ряда (т. е. так называемого ряда Тейлора).