В. Учение о малых колебаниях, в частности, о колебаниях маятника.

Прежде всего я напомню вам вкратце тот вывод закона колебаний маятника, который мы обыкновенно излагаем в университете, пользуясь исчислением бесконечно малых. Предположим, что маятник висит на нити, длина которой равна обозначим через Ф угол, который маятник составляет с положением равновесия (рис. 80). Так как на маятник действует сила тяжести 129) g, направленная вертикально вниз, то, согласно основным уравнениям механики, движение маятника определяется следующим уравнением:

В случае небольших можно с достаточной точностью заменить на что дает для так называемых малых колебаний маятника такое уравнение:

Рис. 80

Общий интеграл этого уравнения выражается, как известно, посредством тригонометрических функций, которые, таким образом, играют здесь важную роль благодаря их дифференциальным свойствам (наличие тригонометрической величины в уравнении (1) не играет здесь роли); именно, общий интеграл имеет вид

где А и В обозначают произвольные постоянные, или, иначе,

где постоянная С называется амплитудой, а - начальной фазой колебания;

отсюда получаем для времени полного колебания величину

Школьное изложение (скрытый анализ бесконечно малых). Но совершенно иначе — по сравнению с этими простыми и ясными рассуждениями, которые, конечно, становятся еще нагляднее при более обстоятельном изучении вопроса, — складывается так называемое «элементарное» изложение закона колебаний маятника, принятое в школе. При этом изложении хотят совершенно избежать всякого последовательного применения исчисления бесконечно малых, между тем как именно здесь физика в силу внутренней природы ее проблем повелительно требует применения методов бесконечно малых; в результате оказывается, что прибегают к помощи специального приема, изобретенного и содержащего идеи анализа бесконечно малых, но только не называют их собственным именем. Разумеется, при этом получается крайне сложное построение, если только от него требуется действительная точность; поэтому на деле этот прием излагают большей частью с такими пропусками, что, на самом деле, вряд ли можно говорить о доказательстве закона колебаний маятника. Таким образом, получается такое курьезное явление: учитель на одном уроке — математики — наиболее требовательно относится к логической строгости доказательств, которой, по его мнению, унаследованному от традиций XVIII века, не удовлетворяет исчисление бесконечно малых, а на следующем уроке— физики — прибегает к крайне сомнительным заключениям и к самому смелому применению бесконечно малых. Вообще, подробное исследование математических методов, по традиции сохраняющихся в преподавании физики, снова и снова обнаруживает, что всякое рассуждение здесь затрудняет; удовлетворительное изложение становится часто совершенно невозможным благодаря искусственному исключению исчисления бесконечно малых из элементарного преподавания.

Разрешите мне, со своей стороны, для лучшего уяснения изложить в нескольких словах ход мыслей в элементарном выводе закона колебаний маятника, который применяется в учебниках и в школе. В этом доказательстве исходят из конического маятника; так называют пространственный маятник, который с равномерной скоростью v описывает окружность вокруг вертикальной оси, так что нить маятника описывает при этом поверхность прямого кругового конуса (рис. 81). Такое движение в механике называют правильной прецессией. Возможность такого движения в школе считают, конечно, установленной опытом и задаются лишь вопросом о том, какие соотношения имеют место между скоростью v и постоянным отклонением маятника от вертикали (т. е. углом между образующей конуса, описываемого нитью, и вертикалью). Начинают с того, что находят для радиуса круга, описываемого маятником, величину , где вместо а можно взять а, если предположить, что угол а достаточно мал. Затем говорят о центробежной силе 132) и выводят формулу, согласно которой наша точка, описывающая окружность со скоростью v, развивает центробежную силу, равную

Рис. 81

Чтобы движение не нарушилось, ее должна уравновешивать равная по величине сила, направленная к центру окружности, — так называемая центростремительная сила. Но последней является горизонтальная составляющая силы тяжести, равная по величине , что при достаточно малом а можно положить равным Таким образом, получаем искомое соотношение в следующем виде:

или

Отсюда находим, что время одного колебания маятника Г, т. е. то время, в течение которого маятник описывает полную окружность равно

другими словами, конический маятник совершает в случае достаточно малых отклонений а правильную прецессию с определенным периодом, величина которого не зависит от а.

Если мы хотим подвергнуть критике уже эту часть вывода, то, прежде всего, замену а на а мы можем признать допустимой; такую замену мы сами совершали в нашем точном выводе (с. 267); действительно, благодаря ей получается переход от «конечных» колебаний к «бесконечно малым» колебаниям. В противоположность этому, формула центробежной силы может быть получена «элементарным путем» только ценой различных неточностей, которые находят свое истинное обоснование лишь в дифференциальном исчислении. А именно, уже определение центробежной силы нуждается, в сущности, даже в понятии второй производной, так что при элементарном выводе приходится исказить и последнее. Вследствие этого возникают — ввиду невозможности ясно выразить то, о чем идет речь, — огромные затруднения для понимания, которые при применении дифференциального исчисления совершенно не имели бы места. Мне не приходится входить здесь в детали.

Но на этом еще далеко не кончается вывод закона колебаний маятника. Мы показали только возможность равномерного движения по кругу, которое на языке аналитической механики изображается следующими уравнениями, если возьмем оси х и у в плоскости этого круга (т. е. при наших упрощениях в плоскости, касательной к сфере) (рис. 82):

Но мы желаем получить плоские колебания маятника, другими словами, тяжелая точка маятника должна Двигаться по нашей плоскости вдоль одной прямой оси а чтобы при отклонении получилось верное уравнение (3), его уравнение движения должно иметь такой вид:

Рис. 82

Итак, нам надо от уравнений (4) прийти к уравнениям (5), причем мы не должны пользоваться дифференциальными уравнениями динамики. Этого достигают, вводя принцип наложения небольших колебаний, согласно которому, если возможны два движения , то возможно и движение . А именно, мы можем комбинировать левовращательное движение маятника, выражаемое уравнениями (4), с правовращательным движением, определяемым такими уравнениями:

В результате, если взять то движение в действительности представляет собой то колебательное движение маятника, выражаемое уравнениями (5), которое мы хотели вывести.

При критике этих рассуждений прежде всего возникает, конечно, вопрос о том, каким образом можно обосновать или, по крайней мере, сделать правдоподобным, не пользуясь дифференциальным исчислением, принцип наложения колебаний. Но главным образом при всех таких элементарных приемах изложения всегда возникает вопрос о том, не могут ли такие последовательно допускаемые неточности привести в результате к заметной ошибке, хотя бы в отдельности эти неточности и были допустимы.

Подробнее останавливаться на этом мне не приходится, так как эти вопросы столь элементарны, что всякий из вас может самостоятельно продумать их до конца, раз ваше внимание на них обращено. Я же хотел бы еще раз отметить, что здесь речь идет о следующем центральном пункте проблемы преподавания: с одной стороны, здесь ясно выступает потребность принимать во внимание исчисление бесконечно малых, а с другой стороны, обнаруживается необходимость введения тригонометрических функций в общем виде, независимо от их специального применения к геометрии треугольника.

Теперь я перейду к последнему из тех применений тригонометрических функций, о которых я имел в виду говорить.