3. Уравнения с тремя параметрами

Обратимся теперь к рассмотрению четырехчленного уравнения следующего вида:

применим метод, совершенно аналогичный прежнему, с той только разницей, что теперь мы используем не плоскость, а трехмерное пространство. Вместе с тем напишем теперь наряду с заданным уравнением то условие геометрии в пространстве, которое выражает, что точка и плоскость с плоскостными координатами находятся в «соединенном положении» (инцидентны, т. е. плоскость содержит точку):

или

Это уравнение, написанное в той или другой последовательности его членов, мы будем отождествлять с исходным уравнением (1) и придем тогда, как и раньше, к двум интерпретациям, находящимся между собой в отношении, определяемом принципом двойственности.

Полагаем сперва

этими уравнениями определяется некоторая кривая в пространстве, «определяющая кривая» четырехчленного уравнения со шкалой значений параметра t. Далее, полагаем

тогда уравнение (1) показывает, что действительные корни данного уравнения тождественны со значениями параметра для точек пересечения определяющей кривой (2а) с плоскостью (2b).

Пользуясь принципом двойственности, полагаем далее

эти уравнения определяют однократно бесконечное множество плоскостей, которые можно рассматривать как соприкасающиеся плоскости некоторой определенной кривой в пространстве, также отнесенной таким образом к параметру i; ввиду такого определения этой кривой в плоскостных координатах ее можно представить как определяющую кривую определенного класса. Рассматривая теперь наряду с нею точку

находим, что действительные корни (1) тождественны со значениями параметра t для тех соприкасающихся плоскостей кривой (3a), которые проходят через точку (3b).

Остается на конкретных примерах глубже вникнуть в смысл обеих интерпретаций; для той и для другой мы имеем в нашей коллекции модели, которые я теперь вам покажу.

Первой интерпретацией воспользовался проф. Мемке в Штутгарте при построении прибора для численного решения уравнений.

В этом приборе (рис. 30), сделанном из латуни, вы видите три вертикальных столбика со шкалами; в прибор помещают вырезанную в виде шаблона определяющую кривую четырехчленного уравнения третьей, четвертой или пятой степени, но, в отличие от нашего изложения, принята не обыкновенная прямоугольная система координат, а такая, что координаты плоскости, т. е. коэффициенты и, v, w уравнения плоскости, представленного в виде (2), изображаются теми отрезками, которые соответствующая плоскость отсекает на шкалах трех вертикальных столбиков и которые можно отсчитать по ним.

Рис. 30

Чтобы иметь возможность фиксировать определенную плоскость в пространстве: к переднему -столбику приделан визир, который можно установить на любом делении шкалы v; деления же на шкалах столбов и и v соединяют натянутой нитью. Лучи зрения, идущие от визира к точкам этой нити, образуют нашу плоскость; ее пересечения с определяющей кривой можно наблюдать непосредственно как кажущиеся (проектирующиеся) пересечения нити с шаблоном, если смотреть через отверстие в визире; соответствующие значения параметра, которые являются искомыми корнями уравнения, отсчитываем на нанесенной на шаблон шкале значений t для определяющей кривой. Степень практической пригодности описанного прибора зависит, конечно, существенным образом от тщательности его механического изготовления.