2. Высшие комплексные числа, в особенности кватернионы

У всякого основательно занимавшегося комплексными числами возникает вопрос: нельзя ли построить другие высшие комплексные числа с большим числом новых единиц, а не с одной только i, и целесообразно определить действия над ними? К положительным результатам в этой области впервые пришли около 1840 г. независимо друг от друга Г. Грассман в Штеттине и Гамильтон в Дублине.

С изобретением Гамильтона, так называемым исчислением кватернионов, я хочу познакомить вас несколько ближе. Но сперва я скажу несколько слов об общей постановке проблемы.

Обыкновенные комплексные числа можно рассматривать как линейные комбинации вида

построенные из двух различных единиц 1 и i с помощью параметров . Аналогично этому станем рассматривать сколько угодно скажем — различных между собой единиц и назовем системой высших комплексных чисел, построенной из этих единиц, совокупность комбинаций вида

составленных с помощью произвольных действительных чисел

Само собою разумеется, что два таких комплексных числа, например Упвп, мы будем считать равными тогда и только тогда, когда коэффициенты при отдельных единицах, так называемые составляющие комплексного числа, попарно равны между собой:

Столь же естественно и определение сложения и вычитания, которое попросту сводит эти операции к сложению и вычитанию составляющих:

Труднее и интереснее обстоит дело с умножением.

Здесь мы, конечно, начинаем с того, что поступаем по общим правилам буквенного исчисления, умножая каждый член выражения на каждый член выражения

Но чтобы этот результат умножения также представлял собой некоторое число нашей системы, необходимо обладать правилом, которое изображало бы произведения в виде комплексного числа системы, т. е. в виде линейной комбинации единиц; необходимо иметь, следовательно, равенств такого вида:

Тогда, действительно, произведение

представит собой некоторое число нашей системы. В установлении этого правила умножения, т. е. схемы коэффициентов заключается характеристика каждой конкретной системы комплексных чисел.

Если определить деление как действие, обратное умножению, то оказывается, что деление не всегда выполнимо даже и в том случае, когда делитель не обращается в нуль. В самом деле, определение у из уравнения получается посредством решения линейных уравнений

(i, k = 1, 2, 3, ..., в каждом суммировании) с неизвестными но эти уравнения в том случае, когда их определитель обращается в нуль, либо вовсе не имеют решений, либо имеют их бесчисленное множество; в этом случае все могут равняться нулю, хотя и не все т. е. произведение двух чисел может обращаться в нуль, хотя ни один сомножитель не равен нулю (такие числа называются делителями нуля). Только с помощью специального искусного подбора коэффициентов можно достичь здесь сохранения свойства обыкновенных чисел, заключающегося в отсутствии делителей нуля; правда, более подробное изучение вопроса показывает, что при сохранение того свойства всегда покупается ценою отказа от одного из других правил действий; поэтому стараются распорядиться так, чтобы этим невыполняющимся свойством оказалось такое, которое наименее важно для соотношений, составляющих цель исследования,

Все эти общие рассуждения мы теперь проследим на кватернионах, которые ввиду их применений в физике и механике представляют, несомненно, самую важную систему высших комплексных чисел. Как видно из их названия, это — четырехчленные числа . В частном случае они вырождаются в трехчленные векторы; последние стали теперь общеизвестными, и о них, вероятно, при случае упоминают и в школе.

За первую из четырех единиц, из которых составляются кватернионы, как и в случае обыкновенных комплексных чисел, принимают обыкновенную единицу 1. Три другие единицы обыкновенно обозначают по Гамильтону через так что общий вид кватерниона получается такой:

где a, b, c, d — действительные параметры (составляющие или коэффициенты кватерниона). Первую составляющую d, на которую умножается 1 и которая аналогична действительной части обыкновенного комплексного числа, называют скалярной составной частью кватерниона, совокупность же трех остальных членов называют его векторной частью.

Рис. 14

Относительно сложения вряд ли можно что-либо прибавить к предыдущим общим соображениям; поэтому я дам вам сразу же естественное геометрическое истолкование его, основанное на известной вам интерпретации векторов. А именно, представим себе отрезок, соответствующий векторной части кватерниона q и имеющий проекции а, b, с на оси координат; этому вектору припишем вес, равный скалярной части d. После этого сложение векторов q и сводится к следующему: мы строим равнодействующую обоих отрезков по известному правилу параллелограмма для сложения векторов (рис. 14) и приписываем ей в качестве веса сумму весов обоих слагаемых; этим путем мы действительно получаем вектор, представляющий собой кватернион:

Со специальными свойствами кватернионов мы встречаемся впервые, когда переходим к умножению; именно, они заключаются, как мы видели это в общей теории, в том, как устанавливаются значения произведений единиц. Я покажу вам прежде всего, каким кватернионам Гамильтон приравнивает 16 произведений основных единиц. Первое условие состоит в том, чтобы с первой единицей 1, как это показывает само ее обозначение, производить вычисления, как с действительным числом 1; следовательно,

Но существенно новыми являются условия относительно квадратов трех других единиц:

и относительно их произведений; полагаем

между тем как при обратном порядке сомножителей полагаем

При этом сразу бросается в глаза, что переместительный закон умножения, вообще говоря, не имеет места; с этим неудобством приходится примириться, чтобы спасти однозначность деления и ту теорему, по которой произведение двух чисел только в том случае может обратиться в нуль, когда один из сомножителей становится равным нулю. Мы сейчас увидим, что этот и все другие законы сложения и умножения, за единственным указанным исключением, действительно остаются в силе и что, следовательно, сделанные выше простые условия являются в высшей степени целесообразными.

Начнем с того, что составим произведение двух кватернионов в общем виде:

принимая во внимание данную последовательность, сомножителей.

Перемножая почленно, заменяя произведения единиц их значениями из нашей таблицы умножения и соединяя затем члены с одинаковыми единицами в один, находим

Таким образом, составляющие кватерниона-произведения представляют собой определенные простые билинейные комбинации составляющих обоих сомножителей. При перемене порядка сомножителей шесть подчеркнутых членов меняют свои знаки, так что вообще говоря, существенно отлично от и притом не только по знаку, как это имеет место для произведений отдельных единиц.

В то время как переместительность, как мы видим, не имеет места, законы распределительности и сочетательности остаются в силе. Действительно, если вычислить, с одной стороны, произведение а с другой, выражение формально перемножая члены, и не заменять произведений единиц их значениями, то должны получиться тождественные выражения; но это тождество не нарушится, если затем к тому и другому выражению применить таблицу умножения единиц. Далее, нетрудно видеть, что и закон сочетательности должен остаться всегда в силе, если только он действителен для умножения единиц. А этот последний факт можно установить непосредственно, на основании таблицы умножения, как я покажу на таком примере:

В самом деле,

и

Перейдем к делению. Достаточно показать, что всякому кватерниону отвечает вполне определенный другой кватернион q, удовлетворяющий условию

представляется целесообразным обозначить это q через

Деление в общем случае легко сводится к этому частному случаю. Чтобы определить это q, полагаем предыдущее выражение для равным 1, т. е. приравнивая составляющие, получаем следующие четыре уравнения для четырех неизвестных составляющих х, у, z, w кватерниона

Разрешимость подобной системы уравнений зависит, как известно, от ее определителя; в данном же случае мы имеем так называемый кососимметрический определитель, т. е. такой, в котором элементы, лежащие симметрично по отношению к главной диагонали (идущей от верхнего элемента слева к нижнему элементу справа), отличаются друг от друга только знаками, между тем как все элементы главной диагонали равны между собой. Теория определителей дает очень простую формулу для вычисления такого рода определителя, а именно, в данном случае оказывается

в справедливости этого равенства можно легко убедиться и непосредственным вычислением. В том обстоятельстве, что этот определитель оказывается равным как раз некоторой степени суммы квадратов четырех составляющих, и заключается собственно тонкий и глубокий смысл условий Гамильтона; именно, из этого обстоятельства вытекает, что определитель всегда отличен от нуля, кроме того случая, когда одновременно поэтому, за исключением одного только этого случая уравнения однозначно разрешаются, и обратный кватернион q оказывается, таким образом, однозначно определенным.

Если положить

(эту величину, играющую большую роль в теории кватернионов, называют модулем кватерниона), то легко убедиться непосредственной подстановкой, что это однозначное решение выражается так:

так что окончательный результат получается такой:

Вводя аналогично теории обыкновенных комплексных чисел кватернион

под названием сопряженного с , можно последнюю формулу написать еще и в таком виде:

или

эти формулы являются непосредственными обобщениями известных свойств обыкновенных комплексных чисел. А так как и, обратно, является сопряженным с числом, то также

так что в этом частном случае имеет место переместительность сомножителей.

Теперь мы в состоянии сразу получить решение задачи деления в общем виде.

Если положим

и обе части этого равенства умножим слева на то получим или , так как

Уравнение же отличающееся от первого только тем, что неизвестный сомножитель q занимает первое место, имеет, вообще говоря, другое решение:

Возникает вопрос, нельзя ли найти такую геометрическую интерпретацию, при которой эти действия и их законы являются чем-то естественным.

Чтобы прийти к такой интерпретации, начнем с частного случая, когда оба сомножителя сводятся к простым векторам, т. е. когда скалярные части . Тогда наша общая формула для произведения принимает такой вид:

мы видим, что произведение двух кватернионов, сводящихся к одним только векторам, состоит из двух частей — скалярной и векторной. Эти составные части нетрудно привести в связь с общепринятыми теперь видами произведений векторов. Эти понятия, гораздо более распространенные в Германии, чем кватернионы, ведут начало от Грассмана, хотя само слово «вектор» английского происхождения. Те два вида произведений векторов, с которыми обыкновенно оперируют, носят теперь большей частью названия внутреннего или скалярного произведения которое, таким образом, только знаком отличается от скалярной части написанного выше произведения кватернионов, и внешнего или векторного произведения которое равно векторной части произведения кватернионов.

Рис. 15

Построим оба вектора в виде направленных отрезков, исходящих из начала координат О (рис. 15); их концы будут находиться в точках ; длины их равны

Если через обозначить угол между обойми отрезками, то, согласно известным теоремам аналитической геометрии, — в подробности я не вхожу — внутреннее произведение равно

Внешнее произведение само представляет собой вектор, который, как нетрудно видеть, направлен перпендикулярно плоскости векторов его длина оказывается равной .

Существенным является вопрос о направлении вектора-произведения еще в том смысле, в какую сторону плоскости, определяемой векторами I и Г, надо его откладывать. Это направление меняется в зависимости от принятой системы координат. А именно, существуют, как вам известно, две различные, не могущие быть совмещенными системы прямоугольных координат; при соответственно одинаковом направлении двух пар осей у них (например, осей и z) третьи оси — оси х — имеют прямо противоположные направления. Такие две зеркально симметричные системы находятся одна к другой в таком же отношении, как правая рука к левой; действительно, их можно различать, пользуясь следующим простым мнемоническим правилом: оси х, у, z одной системы расположены, как расставленные пальцы — большой, указательный и средний — правой руки, оси х, у, z другой системы — как те же пальцы левой руки (рис. 16).

Рис. 16

В литературе постоянно встречается то одна, то другая система в различных странах, в различных дисциплинах и, наконец, у различных авторов господствуют различные системы.

В простейшем случае, когда , т. е. когда и q равны единичным векторам, направленным вдоль осей х и у, их внешнее произведение в силу условия оказывается равным единичному вектору, лежащему на оси z (рис. 17).

Но можно, непрерывно изменяя, превратить в любые векторы ; при этом k перейдет непрерывным образом в векторную составную часть произведения ни разу не обращаясь в течение этого процесса в нуль; поэтому первый и второй сомножители и само векторное произведение всегда должны быть расположены друг относительно друга так, как оси х, у, z системы координат, т. е. должны представлять «правую» или «левую» тройку в зависимости от того, какая система принята для координатных осей.

Рис. 17

Мне хочется прибавить несколько слов по поводу прискорбного вопроса о системе обозначений в векторном анализе. Дело в том, что для каждого действия с векторами употребляется большое количество различных знаков, и, к сожалению, до сих пор еще не удалось создать одну-единственную общеобязательную систему обозначений. Четыре года назад на съезде естествоиспытателей в Касселе (1903) с этой целью была даже избрана особая комиссия, но члены ее не могли вполне столковаться, а так как каждый из них все же имел доброе желание сделать шаг от своей первоначальной точки зрения навстречу другим взглядам, то единственным результатом явилось возникновение трех новых обозначений! После этого и других аналогичных случаев я пришел к тому заключению, что действительное объединение всех заинтересованных в таких вещах кругов на почве одних и тех же словесных и письменных обозначений возможно только в тех случаях, когда к этому побуждают в высшей степени важные материальные интересы. Только под таким давлением могло произойти в 1881г. в электротехнике всеобщее признание единообразной системы мер вольт—ампер — ом и последующее закрепление ее государственным законодательством, так как промышленность настойчиво требовала подобного единства мер как основы всех операций. За векторным исчислением еще не стоят такие могущественные материальные стимулы, и поэтому приходится пока что плохо ли, хорошо ли — мириться с тем, что каждый отдельный математик остается при привычном для него способе обозначений, который он считает наиболее удобным или даже — если он несколько склонен к догматизму — единственно правильным.