Несчетность континуума.

Огромное количество разнообразных счетных множеств, получаемых этим путем, могло бы навести на мысль, что вообще все бесконечны множества счетны.

Но вопреки этому мы докажем тёперь вторую часть теоремы Кантора, согласно которой континуум всех действительных чисел представляет собой несчетное множество; это множество мы будем обозначать позднее нам придется еще говорить о континуумах многих измерений.

Рис. 124

Множество можно, конечно, определить как совокупность всех действительных значений причем мы можем представлять себе, например, как абсциссу на некоторой оси. Покажем, прежде всего, что множество всех внутренних точек отрезка длиною имеет точно такую же мощность, как . В самом деле, изобразим первое множество точками оси второе — внутренними точками единичного отрезка оси у, перпендикулярной оси (рис. 124); теперь можно установить между обоими множествами взаимно однозначное соответствие при помощи любой монотонно возрастающей функции указанного на рис. 124 вида, которая имеет асимптотами слева прямую а справа прямую например, при помощи функции . Таким образом, мы вправе заменить множеством всех чисел, содержащихся между 0 и 1, что мы и сделаем в дальнейшем.

Теперь я изложу то доказательство несчетности множества , которое Кантор сообщил на съезде естествоиспытателей в Галле в оно проще и более пригодно для обобщения, чем доказательство, опубликованное им впервые в 1873 г.

Центральный пункт этого доказательства составляет один в высшей степени простой прием, так называемый «диагональный метод», который при всяком счетном расположении всех действительных чисел, какое мы могли бы только допустить, дает действительное число, которое заведомо не содержится в этом расположении; это составляет противоречие, и поэтому множество не может быть счетным.

Напишем все наши числа в виде десятичных дробей; предположим, что все они расположены в счетный ряд:

где — любые из цифр взятые в любом порядке. Прежде чем идти дальше, заметим, что десятичное написание дробей не вполне однозначно, так как, например, и вообще всякую конечную десятичную дробь можно также записать в виде бесконечной с периодом 9; это составляет одно из основных положений исчисления десятичных дробей. Чтобы установить однозначные обозначения, условимся раз навсегда употреблять только бесконечные десятичные дроби, т. е. вместо конечных дробей всегда писать дроби, кончающиеся периодом 9. Предположим, что в предыдущей схеме все дроби уже приведены к такому виду.

Чтобы образовать десятичную дробь отличную от всех чисел нашей схемы, выделим цифры стоящие в отмеченной на схеме диагонали (отсюда и название этого метода), и поставим на первом десятичном месте числа какую-нибудь цифру заведомо отличную от на втором месте — какую-нибудь цифру b, отличную от на третьем месте — цифру с, отличную от и т. д.

Эти условия относительно выбора цифр оставляют нам, очевидно, еще некоторый произвол; мы можем поэтому распорядиться так, чтобы было равно правильной десятичной дроби, а не 0,999... = 1, а также чтобы она не прекращалась после некоторого конечного числа знаков.

Но в таком случае заведомо отлично от числа так как у них первые цифры неодинаковы, а между тем две бесконечные дроби могут быть равны между собой только в том случае, если у них одинаковы все соответствующие цифры. Точно так же вследствие различия вторых цифр, из-за третьих цифр, и, таким образом, вообще число будучи зполне определенной десятичной дробью, оказывается отличным от всех чисел счетной схемы. Следовательно, мы пришли к противоречию, и это доказывает что континуум представляет собой несчетное множество.

Рис. 125

Эта теорема a priori обнаруживает существование трансцендентных чисел, ибо множество алгебраических чисел счетно и потому не может исчерпать несчетный континуум всех действительных чисел. И в то время как все прежние рассмотрения знакомили нас с бесконечными, но счетными множествами трансцендентных чисел, теперь мы можем утверждать, что их мощность действительно превосходит мощность счетных множеств, так что только теперь мы получаем правильное общее представление об их многообразии.

Приведенные выше частные примеры в свою очередь оживляют эту несколько абстрактную картину.